“權(quán)力指數(shù)比是什么？”總統(tǒng)問。

“權(quán)力指數(shù)也稱為歸一化的權(quán)力指數(shù)。如果我們用百分比來分析投票過程中各投票者的權(quán)力所占的比例。對(duì)于n個(gè)人，每人的權(quán)力指數(shù)為c1，c2 ……cn ，則投票者j的權(quán)力指數(shù)比為：rj= cj/（c1 ＋c2＋…… cn）

由上面這個(gè)公式我們就能算出各個(gè)投票者的權(quán)力指數(shù)比例。一個(gè)極端的情況是，如果一投票者擁有51或以上的股份則他擁有100%的權(quán)力，而其他投票者擁有的權(quán)力為0%?！保尠嘣蛘f。

“哦，原來是這樣。這確實(shí)不太公平。有什么辦法改變這樣的狀況？”總統(tǒng)問。

“可以的，總統(tǒng)先生?！卑嘣蛘f，“您有什么具體要求？”

“首先，人數(shù)多的地區(qū)，權(quán)力要大些；其次，人數(shù)少的地區(qū)也能有一定的權(quán)力。當(dāng)然，最好不要作太多的修改，否則很難實(shí)施。大致是這些吧。”總統(tǒng)想了想說：“不過現(xiàn)在首要的是要增加人數(shù)少的三個(gè)地區(qū)的權(quán)力。否則太不公平了。”

“要絕對(duì)公平很難，重新分配票還要經(jīng)過各省份之間進(jìn)行平衡和爭(zhēng)吵?！卑嘣蜻呎f邊思考，“這樣吧，我給出一個(gè)簡(jiǎn)單的方案?！?

班扎夫考慮了一下說：“多給Alice地區(qū)兩張票吧。這樣就能使得其他票數(shù)不變的情況下增加三個(gè)弱小地區(qū)的權(quán)力?！?

“這樣行嗎？”總統(tǒng)懷疑地說。

“可以的，”班扎夫解釋說，“原來的總票數(shù)為31，獲得16張票就贏。而現(xiàn)在的總票數(shù)為33，獲得17票才能贏。這樣權(quán)力指數(shù)就發(fā)生了變化?！?

“怎么個(gè)變化法？”

“讓我計(jì)算一下?！?

班扎夫掏出筆認(rèn)真地計(jì)算起來，以確保無誤。過了一會(huì)兒，班扎夫說：“這個(gè)方案看樣子能行得通?！闭f著，他拿出計(jì)算結(jié)果給總統(tǒng)看：

表3-2 （17；12，9，7，3，1，1）體制下Saha國(guó)各省權(quán)力指數(shù)

地區(qū) 票數(shù) 權(quán)力指數(shù) 權(quán)力指數(shù)比（%）

Alice 12 18 34.615

Bline 9 14 26.923

Cinda 7 14 26.923

Duho 3 2 3.846

Eho 1 2 3.846

Frida 1 2 3.846

總統(tǒng)看著班扎夫給他的各省份權(quán)力指數(shù)的結(jié)果，自言自語地說：“對(duì)于Frida來說，它在‘Alice-Duho-Eho-Frida’和‘Bline-Cinda-Frida’兩個(gè)聯(lián)盟中起關(guān)鍵作用，即它的加入能使這兩個(gè)聯(lián)盟獲勝，若背離則使得它們落敗。因此它的權(quán)力指數(shù)為2。Duho和Eho和Frida都得到了改進(jìn)?！?

總統(tǒng)對(duì)班扎夫說：“它確是一個(gè)改進(jìn)了的可行的方案。但不知道能不能說服國(guó)會(huì)給以通過。我試試辦吧。謝謝你了。”

在Saha國(guó)的權(quán)力分配故事中所提到的權(quán)力指數(shù)，是班扎夫于1965年提出的。夏普里-舒比克權(quán)力指數(shù)提出最早（1954），但不太直觀，班扎夫給出了一種不同的計(jì)算權(quán)力的方法，由這個(gè)方法得到的權(quán)力指數(shù)被學(xué)術(shù)界稱為班扎夫權(quán)力指數(shù)。

班扎夫權(quán)力指數(shù)的意思是，某個(gè)投票者的權(quán)力體現(xiàn)在，他能通過自己加入一個(gè)要失敗的聯(lián)盟而使得它獲勝，這同時(shí)也意味著他能通過背棄一個(gè)本來要?jiǎng)倮穆?lián)盟而使得它失敗。這就是說，他是這個(gè)聯(lián)盟的“關(guān)鍵加入者”；而他的權(quán)力指數(shù)就是他是關(guān)鍵加入者的獲勝聯(lián)盟的個(gè)數(shù)。

我們用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來說明如何計(jì)算班扎夫權(quán)力指數(shù)。有A、B、C三個(gè)人，A有兩票，B、C各有一票，這三個(gè)人組成一個(gè)群體，對(duì)某項(xiàng)議題進(jìn)行投票，假定此時(shí)贏的規(guī)則服從“大多數(shù)”規(guī)則，即若獲得3票，即得到通過。他們各自的權(quán)力有多大？

對(duì)各自的權(quán)力指數(shù)進(jìn)行分析時(shí)，起作用的是獲勝聯(lián)盟的“關(guān)鍵加入者”。對(duì)于該問題，獲勝的聯(lián)盟有：AB，AC，ABC。而對(duì)于這三個(gè)可能獲勝的聯(lián)盟來說，A在AB、AC和ABC中均是關(guān)鍵加入者，所以他的權(quán)力指數(shù)是3。而對(duì)于B來說，他是聯(lián)盟AB的關(guān)鍵加入者，所以他的權(quán)力指數(shù)為1。而對(duì)于C來說，他與B一樣只是一個(gè)聯(lián)盟的關(guān)鍵加入者，即聯(lián)盟AC，他的權(quán)力指數(shù)是1。因此A、B、C的權(quán)力指數(shù)之比是3∶1∶1。

在前面“獨(dú)裁的”妻子的幽默中，如果用權(quán)力指數(shù)來分析，獲勝聯(lián)盟有兩個(gè)：妻子-丈夫；妻子。而在這兩個(gè)聯(lián)盟中，妻子是這兩個(gè)聯(lián)盟的關(guān)鍵加入者，即她的權(quán)力指數(shù)為2。丈夫不是任何聯(lián)盟的關(guān)鍵加入者，他的權(quán)力指數(shù)為0。

由這兩個(gè)例子可看到，權(quán)力指數(shù)和票數(shù)不是一回事。權(quán)力指數(shù)是真正權(quán)力的一個(gè)反映，而票數(shù)只是一個(gè)虛假的指標(biāo)而已。因此，我們?cè)谠O(shè)計(jì)具體的投票制度、分配票數(shù)時(shí)要考慮并計(jì)算權(quán)力指數(shù)。我們要在票數(shù)上體現(xiàn)各個(gè)投票者以我們?cè)O(shè)計(jì)的權(quán)力。