如 果我們想要著手處理一些更刺激、更驚險(xiǎn)的東西，就需要拿出我們的另一組利器：指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)能夠很好地描述爆炸性增長(zhǎng)，比如核能源或核武器的鏈?zhǔn)椒? 應(yīng)，以及培養(yǎng)皿中細(xì)菌的高速繁殖。通常，大家最為熟悉的指數(shù)函數(shù)是以10為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)10x，也就是10的x次方。注意指數(shù)函數(shù)和之前我們討論過的冪 函數(shù)的區(qū)別：在指數(shù)函數(shù)中，我們的指數(shù)（x）是一個(gè)未知數(shù)，而底數(shù)（10）則是一個(gè)常數(shù)；而在冪函數(shù)（如x2）中，情況則恰恰相反。這個(gè)形式上的差別看起 來微不足道，但冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)卻有著極大的區(qū)別：當(dāng)x越來越大，x的指數(shù)函數(shù)最終會(huì)比x的任何冪函數(shù)增長(zhǎng)得都快，而不管冪函數(shù)的n取多大的數(shù)字。所謂的 “指數(shù)增長(zhǎng)”是一種人類幾乎難以想象的極高速的增長(zhǎng)方式。

正是出于這個(gè)原因，把一張紙對(duì)折7次或8次以上，成為一個(gè)幾乎不可能完成的任務(wù)。 每對(duì)折一次，紙的厚度就會(huì)增加一倍，如果不斷地對(duì)折一張紙，紙的厚度就會(huì)呈指數(shù)增長(zhǎng)。同時(shí)，紙的長(zhǎng)度每對(duì)折一次會(huì)縮小1/2，所以紙的長(zhǎng)度在不斷對(duì)折的過 程中會(huì)呈指數(shù)減小。對(duì)于一張普通的便箋紙來說，對(duì)折7次以后，紙張的厚度就會(huì)超過其長(zhǎng)度，在這種情況下，是沒有辦法再次將這張紙對(duì)折的。這和折紙的人有多 大力氣沒有任何關(guān)系。在數(shù)學(xué)上，所謂一張紙被對(duì)折過n次，也就是說折完的紙必須在一條直線上有2n層，而當(dāng)紙的厚度已經(jīng)大于它的長(zhǎng)度時(shí)，這個(gè)條件是不可能 滿足的。

因?yàn)樯鲜隼碛桑芏嗄陙?，沒有人能夠把一張紙對(duì)折8次以上，直到2002年，一位名叫布蘭妮?加利文的女高中生完成了這個(gè)“不可能的任務(wù)”。首先，加利文姑娘推導(dǎo)出了一個(gè)公式：

在這個(gè)公式中，L是紙張的長(zhǎng)度，T是紙張的厚度，n是這張紙能被對(duì)折的最大次數(shù)。從這個(gè)公式中可以清楚地看出，這個(gè)任務(wù)之所以那么困難，就是因?yàn)橛袃蓚€(gè)2n存在：其中一個(gè)2n表示每對(duì)折一次紙張的厚度就會(huì)翻倍，另一個(gè)2n則表示每對(duì)折一次紙張的長(zhǎng)度就會(huì)減半。

根 據(jù)這個(gè)公式，加利文算出，她需要一卷特制的廁紙，這卷紙大約有3/4英里長(zhǎng)（相當(dāng)于1 207米）。2002年1月，加利文買到了能滿足她的要求的廁紙，她在美國(guó)加利福尼亞州波莫納市的一家購(gòu)物中心里鋪開了這卷廁紙，開始進(jìn)行這項(xiàng)偉大的工 程。7個(gè)小時(shí)以后，在父母的幫助下，加利文把這張紙對(duì)折了12次，一舉打破了世界紀(jì)錄。

理論上，指數(shù)增長(zhǎng)是你致富的希望。假設(shè)你把錢存在銀 行里，每年的年利率是r，那么一年以后，你的存款會(huì)變成本金的（1＋r）倍；兩年以后，你的存款會(huì)變成本金的（1＋r）2倍；x年以后，你的存款會(huì)變成本 金的（1＋r）x倍。這就是我們所說的“復(fù)利”，即傳說中“滾雪球”的魔力，這種現(xiàn)象的本質(zhì)其實(shí)也是指數(shù)增長(zhǎng)。