幾乎沒有什么文章會(huì)讓人更震驚的了。設(shè)想地球以飛快的速度在萎縮：每隔25年地球就會(huì)被分成兩半，一半仍在原來(lái)的軌道上運(yùn)行，另一半旋轉(zhuǎn)著奔向太陽(yáng)，一路上燃燒著和爆炸著。人們必須帶著他們的孩子、祖父母和他們能夠帶走的任何神圣財(cái)產(chǎn)，爭(zhēng)先恐后地、踩踏著奔向僅存的那一半地球。更糟糕的是，他們不知道哪一半地球可以逃過(guò)一劫。馬爾薩斯的預(yù)言略微不同，但幾乎也是這么可怕。與地球被劈成兩半和其中一半燃燒著不同，馬爾薩斯描述的是人口以爆炸般的速度在膨脹和蔓延，而食物的供給卻如蝸牛爬行般緩慢。利用本杰明·富蘭克林提供的美國(guó)數(shù)據(jù)，馬爾薩斯斷言人口數(shù)量趨向于每25年翻一番。當(dāng)然，增速可能還要更快。事實(shí)上，馬爾薩斯選擇了相對(duì)保守的數(shù)字。富蘭克林報(bào)告說(shuō)，在某些村莊只用15年人口就能翻一番。雖然沒有從富蘭克林那里得到食物供給的可靠數(shù)據(jù)作為支持，馬爾薩斯還是得出了結(jié)論：食物的產(chǎn)出從來(lái)跟不上人口增長(zhǎng)的步伐。馬爾薩斯假定，未經(jīng)核對(duì)的人口數(shù)量是按幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)，而食物僅僅是以算術(shù)級(jí)數(shù)在增長(zhǎng)。

這些級(jí)數(shù)意味著什么呢？幾何級(jí)數(shù)（或指數(shù)級(jí)數(shù)）表示一個(gè)數(shù)字不斷地被一個(gè)常數(shù)所乘，例如持續(xù)的雙倍。算術(shù)級(jí)數(shù)只是一個(gè)數(shù)字加上一個(gè)常數(shù)。馬爾薩斯舉了一個(gè)很好的例子：如果現(xiàn)在的人口是10億，人的數(shù)量會(huì)按照1、2、4、8、16、32、64、128、256這樣的數(shù)列增長(zhǎng)，而食物則按照1、2、3、4、5、6、7、8、9這樣的數(shù)列增加。假如起初每個(gè)人有一籃子食物，200年以后，256個(gè)人只能一起分享9籃子食物。自那開始再過(guò)100年以后，4 096個(gè)人不得不分享13籃子食物。

幾何級(jí)數(shù)非?？捎^，令人驚訝，而且會(huì)產(chǎn)生誤解。舉幾個(gè)例子可以說(shuō)明問題。如果斯科特想借丹尼斯的電視觀看1月21日舉行的超級(jí)杯美式橄欖球比賽，并且許諾在1月1日那天付給他1美分，自此以后直到比賽開始每天付給他的錢會(huì)加倍，斯科特必須非常有錢，或者丹尼斯傻到會(huì)接受“大富翁”的游戲幣。到比賽開球之時(shí)，斯科特欠丹尼斯的錢會(huì)達(dá)到10 485.76美元。銀行的復(fù)利也可以用來(lái)說(shuō)明幾何級(jí)數(shù)?；叵胍幌潞商m人花24美元從印第安人手里買下曼哈頓島的故事吧。如果印第安人把這筆錢存放到一個(gè)復(fù)利賬戶中，他們的后代現(xiàn)在能夠支付得起回購(gòu)該島的費(fèi)用，并且包括帝國(guó)大廈、林肯中心以及自從17世紀(jì)以來(lái)在曼哈頓修建的所有“地面建筑”。

正如我們?cè)谙旅娴陌咐兴吹降哪菢?，?fù)利也能被曲解。1981年，美國(guó)國(guó)會(huì)通過(guò)了一項(xiàng)個(gè)人退休金賬戶許可令的提案，實(shí)質(zhì)上是允許人們每年在一只基金中存入接近2 000美元，直到退休，而這筆錢是免稅的。廣告立即出現(xiàn)在了報(bào)紙上，講述只要每年儲(chǔ)蓄2 000美元，一個(gè)25歲的人在退休時(shí)會(huì)很容易地獲得100多萬(wàn)美元的退休金。圖表顯示，在神奇復(fù)利的助推下，美鈔堆積如山。但是，這則廣告下面一些非常小的印刷字講述的才是真實(shí)的故事。銀行假定在以后的40年里利率為12%，但并沒有告訴讀者，如果12%的年利率保持40年的話，那么通貨膨脹也會(huì)同樣肆虐40年，抵消掉你的大部分收入。設(shè)想節(jié)儉的雅皮士40年來(lái)埋頭自己的書桌，與外面的世界很少接觸。在2021年，他終于退休了。他顫抖的手里抓著已經(jīng)泛黃的1981年的廣告，撥通了銀行的電話，讓他們安排一輛武裝押運(yùn)的運(yùn)鈔車以便載運(yùn)他的財(cái)產(chǎn)。銀行職員解釋說(shuō)他有近1 000萬(wàn)美元外加一臺(tái)和面機(jī)在等著這個(gè)雅皮士。這個(gè)雅皮士喜極而泣，他可以靠他的和面機(jī)來(lái)養(yǎng)活自己了。他聽到咔噠一聲，話務(wù)員插話進(jìn)來(lái)：“過(guò)一會(huì)兒，請(qǐng)存款40萬(wàn)美元?！?/p>