劉應明專長于模糊數(shù)學與拓撲學。通俗地說，模糊數(shù)學就是在問題已知條件不充分、不精確、不完備的情況下，通過數(shù)學處理，得出有價值的結論的數(shù)學；拓撲學就是研究一種變化趨向、連續(xù)性的數(shù)學。的確，對于一般人難以接受這樣的解釋。

１９７５年的那個雨雪交加的一天，趁寒假劉應明提著簡單的行囊，艱難地走在泥濘的山路上，來到雅安縣草壩鄉(xiāng)探親。草壩鄉(xiāng)村中學坐落在一個田埂環(huán)繞的山丘上，這里距離成都３００余里。劉應明的妻子吳玉群就在這個由已歷百年的法國教堂改建的鄉(xiāng)村學校任教。

他們夫妻結婚幾年，卻是聚少離多，唯一團聚的日子就是學校的寒暑假。說是探親，他卻帶著滿腦子未解的"題"，帶著無法停頓的思索來的。一年前，他與川大數(shù)學系的老師自行組織了研討班，研討剛剛開始出現(xiàn)的不分明拓撲學?？上Р坏揭荒?，一場"政、教不分明"的風波，使這個研討班不得不宣告解散。研討班雖然停止了，可研討中的問題卻日夜纏繞在劉應明的腦中，他要繼續(xù)研究，只有躲開沒完沒了的大會小會。于是，就有了這一次的"探親"。善解人意的妻子為了讓他避開干擾，特地從學校借來一間平房，讓他潛心研究。

日復一日過去了，又一個傍晚來臨，他依然走到學校附近的田埂散步，一邊走，一邊不停地思索。天卻突然陰沉起來，細雨也紛紛落了下來。不一會兒，他身上全都被雨打得濕漉漉的，而他卻全然不知，思想的鏈條緊繃著。走著，走著，眼前驀然一亮，思索了多日的問題，終于有了線索。他急忙回到房間計算起來。接下來荒郊索居的"探親"日子里，他夜以繼日，終于完成了一篇２萬余字的論文《不分明拓撲學---不分明點的鄰近構造與Ｍｏｏｒｅ－Ｓｍｉｔｈ收斂》。

這篇共１４章、長達２萬余字的數(shù)學論文在提交中國科學院數(shù)學所審查時，得到很高的評價，并在兩年后的１９７７年《四川大學學報》復刊上得以刊出。隨著英文版在美國發(fā)表，被國內(nèi)外同行廣泛引用。就是這篇論文提出了一種嶄新的鄰近構造，首創(chuàng)一種與傳統(tǒng)概念不同的重域系，被國內(nèi)外同行普遍認為奠定了不分明拓撲學（即模糊拓撲學）有點化流派基礎。有關成果還引起人工智能、多值邏輯專家的高度重視、運用。

隨著深入的分析研究，他又綜取有點化與無點化兩家之長，在嵌入理論、度量化理論、緊化理論等方面取得了一系列突破，并寫出了一系列論文。他還在不分明拓撲學中相關的代數(shù)與序結構研究中取得高水平成果，成為同行中"代數(shù)化流派"的代表人物，被稱為"開辟了嶄新的研究方向"，"賦予不分明拓撲以新的生命"。牛津大學數(shù)學系主任吉姆斯主編的英國倫敦數(shù)學會藍皮書評價為："重域系的建立，極富創(chuàng)見性，是目前為止最成功的成果"。前蘇聯(lián)《數(shù)學進展》認為劉的有點化流派"克服了傳統(tǒng)的嚴重障礙"。美國權威性評論雜志《數(shù)學評論》對此多次評論，認為"解決了重要問題"。這標志著劉應明研究的高峰期的到來，而且奠定了他在數(shù)學界的學術地位。

愛國同胞和國際友人真摯熱烈的祝賀使他真正領會

到了一個人如何才能對國家有所貢獻

"文革"結束后，科學的春天到來了。劉應明也同千千萬萬科技工作者一樣，沐浴在和煦的春風里。一篇接一篇論文開始在國內(nèi)外重要的學術刊物上登載，一項又一項引人矚目的科研成果紛紛被他采擷。真可謂厚積十余載，薄發(fā)于一朝。

采訪時，記者問哪一件事對他影響最大。劉應明這樣作答："鄧小平同志復出、改革開放，對我影響最大。"其實，這何止于他本人，更是對一代人、乃至一個民族影響深遠。說到最遺憾的事，他無奈地笑了笑："知識分子的春天來得太遲、太遲了！如果是我２０歲時來的，我為國家為科技方面完全可能會做更多的事。"

１９７８年，成都，中國數(shù)學學會第三次代表大會。作為東道主之一的四川大學論文太少，就想到了整日埋頭研究的劉應明，他被慌忙拉來應陣。這使劉應明在中國數(shù)壇初露鋒芒。