4．警察與小偷的故事——混合策略問題

納什在《n人博弈的均衡點》這篇論文中，給出了均衡存在的簡單證明，納什說，在n個人的博弈中至少存在一個均衡，在這點上雙方均不愿意先改變策略。這里的均衡點有可能是混合策略點。人們稱它為納什定理。

什么是混合策略？

我們來看一個混合策略的例子。警察部門負責一城市中某一區(qū)的治安。警察要對該區(qū)的A、B兩地進行巡邏。假定該區(qū)有一群小偷，要實施偷盜。警察要防止這些小偷的偷盜，但因為設備有限，只有一部警車，警察只能一次在一個地方巡邏。而對于小偷而言，他們也只能去一個地方。假定A地需要保護的財產價值為2萬元，B地的財產價值為1萬元。若警察在某地進行巡邏，而小偷也選擇了去該地，因警察在場，小偷無法偷盜該地的財物；若警察沒有去某地巡邏而小偷選擇了去該地，則小偷偷盜成功。警察怎么巡邏才能使效果最好？

一個明顯的做法是，警察對A地進行巡邏，小偷去B地，這樣，警察可以保住2萬元的財產不被偷竊，而小偷的穩(wěn)定收益為1萬元。但是這種做法是警察的最好做法嗎？警察有沒有比這種策略更好的策略？

我們可以將警察與小偷之間的這個支付寫成如下的支付矩陣。警察巡邏某地，偷盜者在該地無法實施偷盜，假定此時小偷的得益為0（沒有收益），此時警察的得益為3（保住3萬元）。

這個博弈也是常和博弈，它沒有純策略納什均衡點，而有混合策略均衡點。這個混合策略均衡點下的策略選擇是每個參與人的最優(yōu)（混合）策略選擇。

小偷

警察 襲擊A地 襲擊B地

巡邏A地 3，0 2，1

巡邏B地 1，2 3，0

對于這個例子，警察的一個更好的策略是，警察用擲骰子的方法決定去A地還是B地。假定警察規(guī)定擲到1-4點去A地，擲到5、6兩點去B地，這樣警察有2/3的機會去A地進行巡邏，1/3的機會去B地。

而小偷的最優(yōu)選擇是：以同樣擲骰子的辦法決定去A地還是去B地偷盜，如擲到1-4點去B地，擲到5、6兩點去A地，那么，小偷有1/3的機會去A地，2/3的機會去B地。

此時警察與小偷所采取的便是混合策略。

假如按這種策略，我們看一下雙方的收益。警察的期望得益是：7/3萬大于2。警察按此辦法比只巡邏A地的收益更高。

一旦警察采取混合策略，小偷也采取混合策略，其最優(yōu)混合策略下的收益為2/3萬元。小偷的收益比警察只巡邏A地的收益要低。

因為：當警察去A地巡邏時，小偷有1/3的機會去A地，2/3的機會去B地，此時警察去A地的得益為： 萬元；當警察去B地時，同樣，小偷有1/3的機會去A地，2/3的機會去B地，此時警察A地的得益為： 萬元。

警察總的得益為： 萬元。

同理，我們可得小偷的總的得益為2/3萬元。

這里我們“讓”警察和小偷擲骰子以確定去A地還是去B地，目的是要去A地和去B地之間確定一個概率分布，他們當然可用其他方式來確定這個概率分布。

宰割博弈中警察與小偷所用的混合策略，如同小孩子之間玩“剪刀-石頭-布”的游戲時所用的策略。在“剪刀-石頭-布”這樣的游戲中，不存在純策略均衡，對每個小孩來說，自己采取出“剪刀”、“布”還是“石頭”的策略應當是隨機的，不能讓對方知道自己的策略，哪怕是傾向性的策略。如果對方知道你出其中一個策略的可能性大，那么你在游戲中輸的可能性就大。因此，每個小孩的最優(yōu)混合策略是采取每個策略的可能性是1/3。在這樣的博弈中，每個小孩各取三個策略的1/3是納什均衡。

由此可見：純策略是參與人一次性選取的，并且堅持他選取的策略；而混合策略是參與人在各種備選策略中采取隨機選取的。在博弈中，參與人可以改變他的策略，而使得他的策略選取滿足一定的概率分布。

若博弈是零和博弈，即若博弈參與人為兩人，一方所得是另外一方的所失，或者若博弈是常和博弈，即若博弈參與人為兩人，一方所得的增加等于另外一方的損失，此時，對于任何一個參與人而言，都不可能有純策略的占優(yōu)策略。博弈參與人采取混合策略是合適的，均衡為混合策略均衡。如在當前的“反恐”博弈中，由于力量的有限，反恐方往往“更多地”將力量放在重點區(qū)域，如人口密集的大城市，“一定程度地”關注不太危險的區(qū)域，如人口稀疏的農村。這就是混合策略。而恐怖分子同樣在玩混合策略：對攻擊對象的選擇是隨機的，對攻擊方式的選擇也是隨機的。

在競爭性的博弈中，該采取混合策略而不采取混合策略將會帶來失敗。田忌賽馬是人人熟悉的故事。齊王與田忌賽馬，但齊王的馬平均來說要比田忌的馬要跑得快，但田忌采納了孫臏的策略，田忌用下等馬對齊王的上等馬，上等馬對齊王的中等馬，中等馬對齊王的下等馬。田忌以三比二獲勝，贏了齊王。賽馬是零和博弈，齊王的失敗在于他使用了純策略；若齊王使用混合策略，即每次比賽用馬采取隨機策略，不讓田忌預先知曉，那么田忌獲勝的機會必定大大小于齊王獲勝的機會，齊王不會發(fā)生必輸的結局。因此，齊王的錯誤在于沒有使用混合策略。

應當說明的是，田忌賽馬是著名的中國古代博弈故事。但其田忌獲勝的博弈結果則不是博弈論所能夠給出的。博弈論假定了每個參與人都是絕頂聰明的（理性的），博弈論給出的是，田忌和齊王都應采取混合策略，此時有一個混合策略均衡。田忌賽馬從反面印證了納什均衡的含義：若某個參與人主動改變均衡策略，他的收益會降低。這里，主動改變均衡策略而收益降低的參與人是齊王。