學(xué)會把一株樹的樹冠的圖式與關(guān)于未來和上帝（ｔｈｅＤｉｖｉｎｅ）的語義網(wǎng)聯(lián) 系起來，把樹的根部的圖式與關(guān)于過去和魔鬼的語義網(wǎng)聯(lián)系起來。與一種甜食 或溫暖的火光一起產(chǎn)生的各種感覺狀態(tài)（ｓｅｎｓｏｒｙｓｔａｔｅｓ）的圖式是善（ｇｏｏｄ）的語 義網(wǎng)的組成成分；而苦味和痛苦是惡（ｂａｄ）的語義網(wǎng)的組成成分。一個向自我或 向另一個人挑釁而產(chǎn)生的憂慮，很可能與關(guān)于公平和正義的語義網(wǎng)有關(guān)。簡單 地說，首先發(fā)展起來的各種可感知的經(jīng)驗的表達(dá)，常常被用作腳手架，以擴(kuò)大抽 象的語義術(shù)語（ｓｅｍａｎｔｉｃｔｅｒｍｓ）的意義。如果一份技術(shù)報告包含著一幅大腦的圖 片，而另一份報告只展現(xiàn)數(shù)據(jù)，并非專業(yè)神經(jīng)科學(xué)家的大學(xué)生可能會更相信前者 的結(jié)論。在判斷一個因一樁嚴(yán)重的罪行而受到審判的人是否為精神病患者時， 如果辯護(hù)律師出示被告大腦的圖片，并指出其大腦與大部分人的大腦不一樣，所以不能完全為他的行為負(fù)責(zé)，這時陪審員也很容易接受律師的意見。或許這就 是為什么為普通讀者寫作的弦理論家（ｓｔｒｉｎｇｔｈｅｏｒｉｓｔｓ）要加上一幅圖，表示一根 弦看起來可能像什么東西，即使作者們都知道用圖來解釋那些關(guān)于弦的數(shù)學(xué)方 程式是不可能的。作為一個成年人，我相信用言辭和用數(shù)學(xué)公式證明地圓說的 論點，但我猜想，如果新的證據(jù)使科學(xué)家們改變他們的見解，我可能被他們說服 而改變我的想法。但當(dāng)我看見太空船拍攝的我們星球的圖片，我對于地球是圓形的這一信念就變得不可動搖了。一圖確實勝千言。

數(shù)學(xué)概念

在笛卡兒和牛頓極其成功地證明各種數(shù)學(xué)命題后，微分對三種類型的心智 工具的解釋能力，在１７世紀(jì)的歐洲變得清晰。自然哲學(xué)家開始聲稱，各種方程 式將會取 代 各 種 圖 解 和 語 義 的 描 述，這 在 任 何 時 候 都 是 可 能 的。數(shù) 學(xué) 形 式（Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｆｏｒｍｓ）已經(jīng)被證明在物理學(xué)和化學(xué)中極其有效。維爾納·海森堡（ＷｅｒｎｅｒＨｅｉｓｅｎｂｅｒｇ）創(chuàng)造性地使用代數(shù)矩陣（ａｌｇｅｂｒａｉｃｍａｔｒｉｃｅｓ）發(fā)現(xiàn)了著名的測不準(zhǔn)原理（ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，或譯“不確定性原理”）。許多物理學(xué)家，包括愛因斯坦，開始時都抵制海森堡的論點，因為該論點否定了嚴(yán)格的決定論。難以想象，沒有什么詞語能夠準(zhǔn)確地描述各種矩陣所展現(xiàn)的物理現(xiàn)象。海森堡的導(dǎo)師尼爾斯·玻爾（ＮｉｅｌｓＢｏｈｒ）更喜歡把語義概念與電子繞著質(zhì)子和中子的原子核旋轉(zhuǎn)的圖式結(jié)合起來思考。令人驚訝的是，玻爾的研究筆記上只有圖片和詞語，但沒有數(shù)學(xué)計算。當(dāng)玻爾在１９３９年第一次聽說鈾原子裂變的消息時，他試圖通過想象一滴往下落的球形的水滴（代表原子核）因受到中子的轟擊而變形為一顆花生的形狀來理解這種驚人的現(xiàn)象。玻爾關(guān)于一顆被加熱的原子散發(fā)出來  的光譜線和繞著它轉(zhuǎn)的電子能量之間的關(guān)系的洞見，是某種直覺而不是用方程式進(jìn)行運算的結(jié)果。

保羅·迪拉克（ＰａｕｌＤｉｒａｃ）也是通過數(shù)學(xué)術(shù)語來思考的一個英國的物理學(xué)家，他的一篇評論通過比較海森堡所偏愛的工具和玻爾所偏愛的工具，揭示了兩者的差異。１８２６年，迪拉克曾在哥本哈根拜訪過玻爾，玻爾堅持使用那些基于定性的語義概念的論點，而不是較不含糊的各種數(shù)學(xué)方程式，這使迪拉克產(chǎn)生了挫折感，因為后者是英國科學(xué)家認(rèn)為在心理上比較容易操作而且讓人感到滿意得多的方法。當(dāng)與玻爾一起參觀一場藝術(shù)展覽時，迪拉克注意到莫奈的一幅畫中一條小船旁邊有一點暗灰色的、模糊的顏料，于是說道：“這點是不合理的。”［３１］喬治·蓋莫（ＧｅｏｒｇｅＧａｍｏｗ）是一個物理學(xué)家，在克里克和沃森描述脫氧核糖核酸的結(jié)構(gòu)前就設(shè)想脫氧核糖核酸是一套編碼，他提供了一個有說服力的例子，說明一個科學(xué)家所偏愛的思維工具如何得以干擾一次發(fā)現(xiàn)。因為對稱（意思是沒有改變物體形狀的一次數(shù)學(xué)運算）在物理學(xué)中是一種基本概念，蓋莫假定信使核糖核酸（ｍｅｓｓｅｎｇｅｒＲＮＡ）辨認(rèn)脫氧核糖核酸分子，不管是從左到右還是從右到左 都不會有什么區(qū)別。然而，核糖核酸具有某種極性（ｐｏｌａｒｉｔｙ），而信使核糖核酸只從 一個方向來辨認(rèn)脫氧核糖核酸的編碼。所以，蓋莫未能推斷出該分子的正確分子 結(jié)構(gòu)。尤金·威格納（ＥｕｇｅｎｅＷｉｇｎｅｒ）是另一個通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思考問題的物理學(xué)家，他指出他的分析意味著生命形式絕對不可能從化學(xué)元素中產(chǎn)生。凱爾文勛爵（ＬｏｒｄＫｅｌｖｉｎ）是不是１９世紀(jì)最受尊敬的自然科學(xué)家暫不作論，但他恐嚇達(dá)爾文， 說他的數(shù)學(xué)分析證明地球不可能那么古老，所以不可能支撐達(dá)爾文的理論主張。

有些兒童很難把數(shù)學(xué)表達(dá)（ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ）與較熟悉的詞語的表達(dá)區(qū)分開 來?？枴s格（ＣａｒｌＪｕｎｇ）曾提供了一個心理障礙（ｐｓｙｃｈｏｌｏｇｉｃａｌｂｌｏｃｋ）的例 子。他回憶起自己小時候完全沒有能力接受這樣一個論點：如果犪＝犫并且犫＝犮， 那么犪＝犮，因為他總是用各種語義的概念來取代各個字母的符號，并厭惡以下這種可能性：如果貓＝寵物并且寵物＝狗，那么貓＝狗?！拔业闹橇Φ赖路纯惯@些古怪的矛盾事物，這永遠(yuǎn)阻止了我理解數(shù)學(xué)?！保郏常玻輼s格遇到的困難是可以理解的。在一個方程式中的一個字母可以代表任何種類（ｃｌａｓｓ）的一系列現(xiàn)象的數(shù)值，這個觀念的出現(xiàn)還只有１２個世紀(jì)。此外，某些語言用不同的名稱來稱呼等量的不同性質(zhì)的物體。比如，斐濟(jì)（Ｆｉｊｉ）東部島嶼的居民稱１００條獨木舟為博拉（ｂｏｌａ），稱１００顆椰子為科拉（ｋｏｒａ）。［３３］我認(rèn)為人類歷史上后來出現(xiàn)的代數(shù)學(xué)意味著，與語義表達(dá)或圖式表達(dá)的操作不一樣，用各種抽象的數(shù)學(xué)概念來推論的能力，不是一種生物學(xué)上已經(jīng)準(zhǔn)備好的、輕易地來自人類直覺的能力。記住，幾何學(xué)的出現(xiàn)早于代數(shù)學(xué)許多世紀(jì)。伯特蘭·羅素在１１歲第一次讀過歐幾里得（Ｅｕｃｌｉｄ）的書后就愛上數(shù)學(xué)的這種情況是罕見的。