1.1.4 矢量有限單元法

關(guān)于矢量有限元的研究應(yīng)用是一個較新的課題, 國內(nèi)外的研究主要是集中在波導(dǎo)結(jié)構(gòu)分析、 腔體散射和貼片天線輻射問題的分析當中。1957年, Whitney最早提出了棱邊元的構(gòu)想, 但直到20世紀80年代初期, Bossavit等將四面體棱邊元應(yīng)用于三維渦流問題, 1987年, Barton和Cendes將四面體棱邊元首次應(yīng)用于三維磁場計算才揭開了基于棱邊的有限元方法在電磁問題中應(yīng)用的序幕。從20世紀90年代開始, Jianming Jin和Volakis等人應(yīng)用Edge-based FEM與其他求解技術(shù)相結(jié)合的混合方法, 分析了一系列電磁散射與輻射問題。1990年, Sakiyama和 Kotera 等人利用矢量有限單元法分析了電磁散射模型。Inoue和Koshiba利用了矢量有限單元法研究了不連續(xù)波導(dǎo)的電磁特性。1995年, Lee詳細地研究了矢量有限單元法在電磁散射問題中的應(yīng)用。在國內(nèi), 矢量有限元的研究工作大多集中在波導(dǎo)和諧振腔方面的研究。徐善駕、 周樂柱等學(xué)者在矢量有限元的應(yīng)用和高次棱邊元的研究方面也取得了許多成果。1994年, 饒明忠、 譚邦定和黃鍵研究了矢量有限元在工程渦流場計算中的應(yīng)用。徐金平、 丁衛(wèi)平(2003)對電磁散射與輻射問題中基于矢量有限元的混合方法進行了研究。聶在平、 班永靈(2006)研究了高階矢量有限元方法在三維電磁散射與輻射中的應(yīng)用問題。所有的這些工作基本上都與電磁散射和輻射相關(guān)。

在地球物理領(lǐng)域, 尤其是在電(磁)法領(lǐng)域, 矢量有限元的研究還很薄弱, 就目前檢索到的文獻而言, 閻述(2003)研究了基于矢量有限元的可控源音頻大地電磁法的正演問題。Xueming Shi等人(2004)研究了結(jié)合散度校正的三維大地電磁矢量有限元模擬, 隨后, 韓國學(xué)者Myung Jin Nam, Hee Joon Kim等人于2007年在Geophysical Prospecting上發(fā)表了一篇關(guān)于利用矢量有限元進行三維大地電磁正演模擬的文章。國內(nèi)的王緒本和毛立峰(2006)對井-地交流電法的矢量有限元三維正演問題進行了研究。孫向陽、 聶在平和趙延文等人(2008)用矢量有限元方法模擬了隨鉆測井儀在傾斜各向異性地層中的電磁響應(yīng)。王燁(2008)用矢量有限元對高頻大地電磁法進行了三維數(shù)值模擬。

總的來說, 這幾種數(shù)值模擬方法在地球物理正演模擬方面都有一定的優(yōu)勢和不足。 有限差分法的優(yōu)點在于方法簡便易算, 缺點是當物性參數(shù)復(fù)雜分布或場域的幾何特征不規(guī)則時, 適應(yīng)性比較差。有限單元法與上述方法相比具有推導(dǎo)過程簡單, 適合處理復(fù)雜的幾何形狀, 靈活和適應(yīng)性強等特點, 但它的計算量龐大, 耗費的計算時間較多?；谶叺氖噶坑邢拊哂幸恍﹤鹘y(tǒng)節(jié)點有限元無法比擬的優(yōu)點, 不僅避免了偽解的出現(xiàn), 而且能很容易加載介質(zhì)的邊界條件。但該方法在處理矢量電磁場問題中仍有其不足, 由于矢量基函數(shù)沿單元棱邊方向取值恒定, 沿棱邊法向是線性插值, 這限制了基函數(shù)模擬實際電磁場的插值精度。

1.1.5 自適應(yīng)有限單元法

自適應(yīng)有限元最早始于20世紀70年代。Oliveria于1971年通過極小能量利用最優(yōu)節(jié)點分布討論了網(wǎng)格優(yōu)化問題, 所提出的網(wǎng)格重分布方法成為移動節(jié)點法的基礎(chǔ)。20世紀70年代中期, Oliveria進一步創(chuàng)造性地提出在應(yīng)變能密度變化最大的區(qū)域加密網(wǎng)格或增加插值函數(shù)的高階自由度, 開創(chuàng)了最優(yōu)離散化的研究。20世紀70年代后期, Peano提出用疊層細分構(gòu)造混合階插值, 給出了非常有用的疊層p-型單元族。20世紀80年代, Zienkiewicz等在此基礎(chǔ)之上通過實例研究了h、 p組合法的精度和有效性問題。20世紀90年代, Oden等也進一步研究了p-改進和h-加密的組合方法, 旨在以最少的參數(shù)達到最高的精度。Mark Ainsworth對有限元的后驗誤差做了綜合的探討, 分別給出了橢圓邊值問題的基于殘值和基于梯度的后驗誤差, 為自適應(yīng)有限元后驗誤差的計算奠定了堅實的理論基礎(chǔ)。Zienkiewicz等人在誤差估計方面做了大量富有成效的工作。他們提出通過局部應(yīng)力場的節(jié)點插值或最小二乘擬合求取非連續(xù)有限元應(yīng)力場的平滑應(yīng)力, 并由能量范數(shù)度量的兩應(yīng)力場間的差值表示離散誤差。Ainosworth 等曾證明了此法的有效性, 這一有效方法已被人們所廣泛采用。進入21世紀, 對于自適應(yīng)有限元的研究愈加廣泛, Vera Nübel等提出了塑性全量理論的rp自適應(yīng)有限元策略, 并且能夠達到指數(shù)級的收斂速度。Stephan等將hp自適應(yīng)有限元和邊界元耦合的方法用于時諧形式的麥克斯韋方程組的求解。近年來, 隨著并行計算研究的深入, 基于C++面向過程的并行自適應(yīng)有限元算法和軟件的開發(fā)也有了新的進展。2005年以來, Demkowicz與Rachowicz等人開展了穩(wěn)定電流場及電磁場的hp型自適應(yīng)有限元算法研究, 對石油勘探中的直流電測井模型進行了數(shù)值計算, 得出了高精度的視電阻率結(jié)果。Key (2006)開展了大地電磁二維模型的自適應(yīng)有限元計算, Li(2006)給出了海底可控源電磁法二維模型的初步計算結(jié)果, 三維電磁場的自適應(yīng)有限元模擬還未見文獻報道。

國內(nèi)學(xué)者也投入了大量的時間與精力研究傳統(tǒng)有限元法在各種工程計算中的理論與實際應(yīng)用, 取得了顯著成果。但對于自適應(yīng)有限元的研究則起步相對較晚, 只有一些在工程計算方面的應(yīng)用。陳志明等對橢圓變分不等式和連續(xù)鑄鋼模型等非線性問題的后驗誤差分析和自適應(yīng)進行了系統(tǒng)和深入研究, 取得了突破性進展。杜強對Delaunay網(wǎng)格生成算法進行了大量的探討, 為自適應(yīng)網(wǎng)格剖分奠定了理論基礎(chǔ), 并且形成了網(wǎng)格生成的軟件包。黃云清、 陳傳淼、 朱啟定對有限元高精度理論和多重網(wǎng)格算法做了深入的研究, 張智民對后驗誤差進行了深入的探討。大多學(xué)者都是在各自領(lǐng)域進行了一些研究, 沒有形成一套用自適應(yīng)有限元求解的普適性的軟件。目前應(yīng)用自適應(yīng)有限元方法求解資源勘探和材料科學(xué)等領(lǐng)域復(fù)雜問題的關(guān)鍵技術(shù)亟待解決。