1.1.1 積分方程法

積分方程法(Integral Equation Methods, IEM)實(shí)現(xiàn)了均勻?qū)щ姲肟臻g三維大地電磁響應(yīng)的數(shù)值模擬。求取張量格林函數(shù)積分時(shí), 采用二次剖分算法解決計(jì)算中的奇異值問題, 對于含有貝塞爾函數(shù)的積分項(xiàng), 利用結(jié)合連分式展開的高斯求積代替常規(guī)的快速漢克爾變換方法, 確保了張量格林函數(shù)的正確計(jì)算, 且提高了計(jì)算精度。

積分方程法把Maxwell方程變成Fredholm積分方程(Raiche, 1974; Weidelt, 1975)

方程(1.1)為電場表達(dá)式, 此方程即為著名的散射方程(Scattering Equation, SE)。其中, E0(r)為一次場, G為3×3的Green函數(shù)在1D參考介質(zhì)中矩陣, Vs為(-0)不為0處的體積。通過離散化方程(1.1), 產(chǎn)生線性方程組, AIEX=B為復(fù)數(shù)、 密實(shí)矩陣。由此可見, IEM的主要優(yōu)點(diǎn)為線性方程組的維數(shù)相對FDM、 FEM要小得多, 可以快速求解; 不足之處為, 解的精度嚴(yán)重依賴于AIE的精確度。一般來講, AIE的精確無法得出有效保證, 并且其本身也是一項(xiàng)十分耗時(shí)的工作。不過, 由于計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn), 特別是在三維電磁模型計(jì)算中, IEM被廣泛地應(yīng)用(Ting and Hohmann, 1981; Wannamaker, 1984; Newman, Hohmann, 1988; Hohmann, 1988; Wannamaker, 1991； Dmitriev, Newmeyanova, 1992; Xiong, 1992; Xiong, Tripp, 1995; Kaufman, Eaton, 2001)。IEM的發(fā)展趨勢為快速求解三維大型、 超大型電磁模型, 由此可見, IEM是所有電磁場數(shù)值模型中的效率快速者。積分方程法主要優(yōu)點(diǎn)為: 

(1)積分方程法只需對異常體進(jìn)行剖分和求積, 不涉及微分方法中的吸收邊界等復(fù)雜問題, 在三維電磁數(shù)值模擬研究中具有快速、 方便等特點(diǎn), 與有限元和有限差分法相比, 這種方法在模擬有限大小的三維電磁響應(yīng)時(shí)更為有效, 計(jì)算速度快, 占用內(nèi)存少, 因而積分方程法近年來受到人們的關(guān)注和重視, 并取得較快的發(fā)展。

(2)由于計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展, 對異常體進(jìn)行三維網(wǎng)格剖分和數(shù)值求積已變得越來越方便。同樣的問題, 用計(jì)算機(jī)計(jì)算的時(shí)間比以前大大降低。IEM三維電磁響應(yīng)數(shù)值模擬不再“昂貴”和“費(fèi)時(shí)”, 從而可以成為一種廉價(jià)、 快速、 能推廣的解釋技術(shù)。

1.1.2 有限差分法

有限差分方法(Finit Difference Method, FDM)是最為古老的數(shù)值計(jì)算方法之一, 其被用于應(yīng)用地球物理領(lǐng)域始于20世紀(jì)60代(Yee 1966; Jones, Pascoe, 1972; Dey, Morrison, 1979; Madden, Mackie, 1989), 特別是進(jìn)入90年代, 交錯(cuò)網(wǎng)格被廣泛用于地電磁場的分析中, 使有限差分法步入了全盛時(shí)期(Smith, Booker, 1991; Mackie 等, 1993, 1994; Wang, Hohmann, 1993; Weaver, 1994; Newman, Alumbaugh, 1995, 1997; Smith, 1996a, b; Varentsov, 1999; Champagne 等, 1999; Xiong 等, 2000; Fomenko, Mogi, 2002; Newman, Alumbaugh, 2002)。

有限差分法首先將求解區(qū)域劃分為規(guī)則的網(wǎng)格, 其規(guī)模為M=Nx×Ny×Nz, Nx、 Ny、 Nz為直角笛卡爾坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向的節(jié)點(diǎn)數(shù), 電場與磁場被離散到節(jié)點(diǎn)。然后按差分原理, 以每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的差商近似代替相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù), 從而得到關(guān)于節(jié)點(diǎn)上電場和磁場的線性方程組, AFDX=B, AFD為3M×3M的復(fù)數(shù)、 對稱、 大型、 稀疏矩陣, X為3M長的各節(jié)點(diǎn)電場或磁場的向量, B為由jext等激勵(lì)和邊界條件生成的長度為3M的向量。由上可知, 有限差分的最大不足之處為, 它要求模型能夠被剖分成規(guī)則的單元如四邊形、 六面體等, 嚴(yán)重制約了其在復(fù)雜地球物理模型中的應(yīng)用; 最大優(yōu)點(diǎn)在于能夠非常好地處理內(nèi)部介質(zhì)中電磁性差異引出的磁場與電場不連續(xù)現(xiàn)象, 這是由交錯(cuò)網(wǎng)格的基本性質(zhì)決定。目前來說, 作為電磁數(shù)值模擬方法的主導(dǎo)者, 有限差分法(FDM)正處于各向同性介質(zhì)模型轉(zhuǎn)向各向異性介質(zhì)模型的升級(Weidelt, 1999; Weiss, Newman, 2002, 2003); 正處于頻率域電磁模型的模擬向時(shí)間域電磁模型模擬的空間轉(zhuǎn)換, 并借助于并行技術(shù)求解(Wang, Hohmann, 1993; Wang, Tripp, 1996; Haber 等, 2002; Commer, Newman, 2004)。

我國的地球物理工作者從20世紀(jì)80年代開始研究了有限差分法正演計(jì)算問題, 卓有成效(周熙襄, 1980, 1983; 鐘本善, 1986; 羅延鐘, 1986)。吳小平、 徐果明等(1998)求解了三維點(diǎn)源場的正演問題; 段紅偉等(1999)研究了有限差分的二、 三維速度層析成像技術(shù); 裴正林等(2004)實(shí)現(xiàn)了三維各向異性介質(zhì)中彈性波方程交錯(cuò)網(wǎng)格高階有限差分法數(shù)值模擬; 譚捍東等(2003)用三維交錯(cuò)網(wǎng)格采樣有限差分法實(shí)現(xiàn)了三維大地電磁正演模擬, 隨后又利用有限差分方法研究了大地電磁三維正演并行算法; 徐凱軍、 李桐林(2006)對垂直有限線源進(jìn)行了三維地電場有限差分正演研究; 王祥春等(2007)用有限差分法模擬了地表起伏的三維地震波場。