五次方程：群與域——數(shù)學(xué)精靈阿貝爾與伽羅瓦

一對數(shù)學(xué)精靈

一八二六年秋天，二十四歲的挪威青年尼爾斯·亨利克·阿貝爾（Niels Henrik Abel）來到巴黎，此時的他已經(jīng)取得非凡的數(shù)學(xué)成就，包括證明五次和五次以上方程沒有一般根式解，正在等待法蘭西科學(xué)院大咖們的賞識和肯定。在離阿貝爾住處幾公里遠(yuǎn)的路易學(xué)校，十五歲的法國少年埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois）卻遇到麻煩，在進(jìn)入該校的第四個年頭，他的修辭課大大退步（可能沒過及格線），他留級了。

在此期間，伽羅瓦的一位同學(xué)為他畫了一幅素描，那是我們今天見到的伽羅瓦像。在任何一部數(shù)學(xué)史中，我們都會看見，十五歲的迷惘少年與那些睿智老成的數(shù)學(xué)家（如笛卡爾、牛頓、萊布尼茨、歐拉等）并列在一起。有趣的是，也是在巴黎，阿貝爾遇見一位同胞畫家，他為阿貝爾畫了唯一的肖像畫。阿貝爾和伽羅瓦都有著微卷的頭發(fā)、清澈而略帶憂郁的眼睛，真是一對神奇的精靈。

阿貝爾和伽羅瓦

因為留級，伽羅瓦遇到了見習(xí)數(shù)學(xué)老師維納。維納向同學(xué)們推薦了勒讓德的《幾何原理》，比起赫赫有名的歐幾里得《幾何原本》，這本一七九四年版的數(shù)學(xué)著作更容易讀懂。據(jù)說如饑似渴的伽羅瓦只用兩天就讀完此書，而它原本是足足兩年課程的教材。值得一提的是，德意志數(shù)學(xué)天才黎曼恰好在那年出生，他在中學(xué)期間也只用六天時間讀完了勒讓德的另一部巨著《數(shù)論》。

伽羅瓦被數(shù)學(xué)迷住了，他貪婪地閱讀原始著作和文獻(xiàn)，就像如今的小朋友癡迷于哈利·波特系列故事，伽羅瓦完全沉浸于不久以前逝去的數(shù)學(xué)家拉格朗日的著作。面對此情此景，修辭老師無奈地說，“在伽羅瓦的作業(yè)里除了奇怪的幻想和粗心大意以外一無是處”，“他已經(jīng)沉迷于數(shù)學(xué)的激動中……對其他事物視若無睹……如果他的父母只允許他研究數(shù)學(xué)，我認(rèn)為那對他來說是最好的”。

兩年以后，伽羅瓦參加了巴黎綜合理工學(xué)校入學(xué)考試，結(jié)果名落孫山，自然是因為“在某個領(lǐng)域知識太多，而其他領(lǐng)域知識太少”。他只好在路易學(xué)校再讀一年，幸運的是，他進(jìn)了理查德的數(shù)學(xué)專門班。理查德發(fā)現(xiàn)這位學(xué)生的數(shù)學(xué)天賦遠(yuǎn)超其他同學(xué)，就給了他一等獎學(xué)金。老師保留了他所有課堂筆記本，正如母親和姐姐保留了他少年時代所有畫作，他們都認(rèn)定伽羅瓦是天才。

無獨有偶。當(dāng)阿貝爾十三歲那年離開故鄉(xiāng)，進(jìn)入挪威首都奧斯陸（當(dāng)時叫克里斯蒂安尼亞）一所教會學(xué)校時，也曾遭遇一些挫折?？墒遣痪茫龅揭晃唤谢魻柲凡臄?shù)學(xué)老師。霍爾姆伯非常欣賞阿貝爾，成了阿貝爾的啟蒙老師和第一個伯樂?；魻柲凡倘琊囁瓶实陌⒇悹枌W(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，鼓勵他閱讀瑞士數(shù)學(xué)家歐拉、德國數(shù)學(xué)家高斯、法國數(shù)學(xué)家拉格朗日和泊松的著作。

一八二一年，十九歲的阿貝爾幸運地進(jìn)入新成立的挪威第一所大學(xué)—皇家弗雷德里克大學(xué)（后易名奧斯陸大學(xué)）。更幸運的是，有三位教授愿意為聰明好學(xué)、家境貧困的阿貝爾解囊相助，其中一位教授允許阿貝爾隨意出入自己的家。另一位教授則資助他第一次離開挪威，去哥本哈根旅行。五年以后，阿貝爾又獲得挪威政府的旅行獎學(xué)金，經(jīng)過柏林來到了巴黎。

三次和四次方程

說到五次方程求解的意義，我們要從古希臘說起。在古希臘，幾何學(xué)曾是數(shù)學(xué)的代名詞。柏拉圖學(xué)園的入口處寫著，“不懂幾何學(xué)的請勿入內(nèi)”。而數(shù)學(xué)就像畢達(dá)哥拉斯定義的單詞詞根，指一切可以學(xué)到的知識，那更多的是一種哲學(xué)含義。究其原因，幾何學(xué)可以通過圖像，而不怎么需要文字和符號來推理表達(dá)，因此更容易自由發(fā)展，這也是歐幾里得幾何學(xué)得以率先誕生的原因。

對于一次和二次方程，因為比較簡單，在沒有方便的符號體系下，包括“四大文明”在內(nèi)的古老文明都能自己找到解答，甚至知道利用根式給出的表達(dá)方法。只不過，有的民族只取正值解，有的民族（二次方程）只取一個解或?qū)崝?shù)解。而要說到一般的代數(shù)方程和它的求解，首先要提到丟番圖，他是古希臘最后一位數(shù)學(xué)大家，生活在公元三世紀(jì)的亞歷山大。

丟番圖最重要的著作是《算術(shù)》，這是一部劃時代的數(shù)學(xué)名著。共有十三卷，但很長時間人們只見到其中的六卷希臘文本。直到一九七三年，才在伊朗馬什哈德發(fā)現(xiàn)四卷阿拉伯文譯本。這十卷書中共有二百九十個數(shù)學(xué)問題，大多數(shù)是數(shù)論問題，其中希臘文本中的第二卷第八題是有關(guān)畢達(dá)哥拉斯數(shù)組。十七世紀(jì)《算術(shù)》拉丁文譯本出版以后，引起了法國數(shù)學(xué)家費馬的興趣，演變成赫赫有名的費馬大定理。除數(shù)論問題以外，《算術(shù)》還涉及一些代數(shù)問題和思想。但它不像之前的代數(shù)問題那樣披著幾何的外衣，而是還原代數(shù)本身的模樣。對于一次方程，丟番圖采用“移項”和“合并同類項”等技巧，這與我們現(xiàn)在的解題思路是一致的。對于二次方程，雖說丟番圖已懂得負(fù)數(shù)的運算法則，但只滿足于尋找正有理數(shù)解，且如果有兩個正根時，他只取較大的那個。

更有價值的是，丟番圖比較系統(tǒng)地提出了代數(shù)符號概念。例如，他用希臘字母的前幾個α、β、γ表示數(shù)字1、2、3，而用其他字母表示未知數(shù)不同的冪次。他采用速記的形式來表達(dá)高次方程，這樣的表達(dá)可以稱之為速記代數(shù)。十六世紀(jì)以前的歐洲，用一套符號使得書寫更為方便、簡潔的只有丟番圖一人。可以說，丟番圖使得代數(shù)從幾何形式中解脫出來，成為數(shù)學(xué)的一個重要分支。

值得一提的是，古代中國尤其是宋元時期的數(shù)學(xué)取得了輝煌的成就。南宋秦九韶發(fā)明了用迭代法求高次方程近似解（正根）的“正負(fù)開方術(shù)”，被現(xiàn)代人稱為秦九韶算法。元代李冶發(fā)明“天元術(shù)”，用特定漢字表示未知數(shù)，打破了以《九章算術(shù)》為代表的“文辭代數(shù)”。稍后朱世杰發(fā)明“四元術(shù)”，將其推廣到四個未知數(shù)的情形。他們的工作堪稱“半符號代數(shù)”。

在印度，七世紀(jì)的數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多首先得到了0的運算法則，他給出了二次方程的求根公式，允許系數(shù)可正可負(fù)，他還用數(shù)上方加點的方式來表示負(fù)數(shù)，用不同的顏色首字母表示不同的未知數(shù)，效果與字母表達(dá)的方程十分接近。到了十二世紀(jì)，婆什伽羅給出的二次方程求根公式與現(xiàn)代的如出一轍，他還討論了個別的三次方程和雙二次方程。

阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子密生活在九世紀(jì)，他對二次方程做了全面系統(tǒng)的討論。更重要的是，他的著作《代數(shù)學(xué)》在一一四〇年被譯成拉丁文出版后，在歐洲被用作標(biāo)準(zhǔn)的教科書長達(dá)數(shù)個世紀(jì)，代數(shù)學(xué)（Algebra）因此書而得名，他本人的名字則成為“算法”（Algorithm）。與丟番圖一樣，花拉子密也享有“代數(shù)學(xué)之父”的美名。

時光到了十六世紀(jì)，在亞平寧半島，三次方程和四次方程的求解即將取得里程碑式的進(jìn)展。在此之前，在哥倫布到達(dá)美洲兩年之后的一四九四年，他的意大利同胞數(shù)學(xué)家帕喬利在一部百科全書式的數(shù)學(xué)巨著最后以悲觀的語調(diào)寫道，“對于三次和四次方程，直到現(xiàn)在還不可能形成一般規(guī)則”。他還認(rèn)定，那無疑與古希臘遺留下來的化圓為方問題一樣困難。

或許，正是為了挑戰(zhàn)帕喬利的悲觀論調(diào)，他的同胞數(shù)學(xué)家們接連取得了突破性的進(jìn)展。先是歐洲最古老的博洛尼亞大學(xué)數(shù)學(xué)教授費羅解出了缺項的三次方程x3+mx=n（系數(shù)為正），接著，自學(xué)成才的塔爾塔利亞（意思是口吃者，起因于入侵法國士兵的砍刀）不僅也能解上述三次方程，同時他還會解方程x3+mx2=n（要求系數(shù)為正）。

一五三五年，在費羅去世九年后，他的徒弟菲爾奧與塔爾塔利亞有過一場公開的數(shù)學(xué)競賽。這是那個時代數(shù)學(xué)家的傳統(tǒng)，他們相互出同樣數(shù)量的題目（方程），然后在規(guī)定的時間內(nèi)交卷，結(jié)果當(dāng)然塔爾塔利亞大獲全勝。借這個東風(fēng)，塔爾塔利亞后來完全解決了三次方程的求解問題，即與二次方程的求解一樣，通過根式來表達(dá)。

這場競賽引起了米蘭醫(yī)生卡爾達(dá)諾的注意，他本是醫(yī)術(shù)高超的名醫(yī)，卻嗜賭成性，家庭也遭遇不幸，妻子早逝，長子殺妻被處絞刑，幼子偷竊進(jìn)了牢房。數(shù)學(xué)是卡爾達(dá)諾最大的安慰，他寫過一本研究概率的書，后來被解方程問題給迷住了。卡爾達(dá)諾邀請塔爾塔利亞去米蘭，好酒好肉招待三天之后，在保證不外傳情況下，后者以詩歌的形式向他透露解三次方程的秘籍。

古希臘的畢達(dá)哥拉斯定理也是以詩歌的語言敘述的。塔爾塔利亞告知的解法是費羅已掌握的那類三次方程。卡爾達(dá)諾經(jīng)過鉆研，把其他形式的三次方程也解了出來。協(xié)助卡爾達(dá)諾的是他的助理費拉里。費拉里十分聰明，緊接著他把四次方程的解也求出來了，即對一般的四次方程，他都可以通過轉(zhuǎn)化變?yōu)槿畏匠?，從而給出根式的一般解答。

一五四五年，卡爾達(dá)諾到博洛尼亞造訪了費羅的學(xué)生兼女婿納夫，看到費羅手稿上早就有塔爾塔利亞透露給他的解法之后，便在當(dāng)年出版了《大術(shù)》一書，將三次方程和四次方程的解法公之于眾，其中提到了費羅、塔爾塔利亞和費拉里等人的工作。這部書轟動了歐洲數(shù)學(xué)界，卡爾達(dá)諾也成為響當(dāng)當(dāng)?shù)娜宋?。雖然書中提及塔爾塔利亞的貢獻(xiàn)，但后者對于卡爾達(dá)諾的背信棄義仍十分惱火。

塔爾塔利亞不僅公開指責(zé)卡爾達(dá)諾，而且要求與他直接競賽較量，仿佛為名譽或愛情而戰(zhàn)的一場決斗。對此正處于喪妻之痛的卡爾達(dá)諾保持了沉默，起身迎戰(zhàn)的是年輕的費拉里。結(jié)果在米蘭客場作戰(zhàn)的塔爾塔利亞因不太會解四次方程，未等裁決結(jié)果出來便離開了，后來郁郁寡歡抱恨而終。名聲大振并出任博洛尼亞大學(xué)教授的費拉里也樂極生悲，據(jù)說他最后是被貪財?shù)慕憬阌门舅赖摹?/p>

阿貝爾定理

三次和四次方程求解問題解決以后，五次方程自然擺在所有數(shù)學(xué)家面前。而自從一五四五年卡爾達(dá)諾出版《大術(shù)》，到阿貝爾上大學(xué)，時光已流逝了近三個世紀(jì)，這個棘手的問題依然存在。這期間，法國人韋達(dá)早已在一五九一年研究出二次方程根與系數(shù)關(guān)系的韋達(dá)定理，這個定理后來被荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉德推廣到一般n次方程的情形。

不僅如此，韋達(dá)還把代數(shù)問題符號化，他用輔音字母表示已知數(shù)，元音字母表示未知數(shù)。遺憾的是，這種方法不容易區(qū)分已知數(shù)和未知數(shù)。后來，韋達(dá)的同胞笛卡兒建議，用最前面的字母a、b、c等表示已知數(shù)，用最后面的字母x、y、z等表示未知數(shù)。這樣的表示法一目了然，逐漸地被推廣到全世界并沿用至今。

代數(shù)方程的理論問題則要等到十八世紀(jì)末，由德國數(shù)學(xué)王子高斯來完成。一七九九年，二十二歲的高斯在其博士論文中首次嚴(yán)格證明了：任何實系數(shù)的n次方程至少有一個復(fù)根。由此人們不難推出，n次方程有n個復(fù)根。一八四九年，在慶祝取得博士學(xué)位五十周年之際，高斯給出了上述定理的第四個證明，他證明了：任何復(fù)系數(shù)的n次方程都至少有一個復(fù)根。這個定理被稱為代數(shù)基本定理。

現(xiàn)在，我們要說說阿貝爾的工作了。在中學(xué)最后一年，他雄心勃勃地試圖解決一般五次方程的根式求解問題。不久他找到了求解公式，他的老師霍爾姆伯看不出證明的破綻。于是，這篇文章便寄給了一位丹麥數(shù)學(xué)家，那位數(shù)學(xué)家也沒看出毛病，卻謹(jǐn)慎地建議他再舉例說明。斟酌之下，阿貝爾終于發(fā)現(xiàn)論證本身存在漏洞。

其實，拉格朗日在五次方程求解問題上也栽過跟頭。他后來認(rèn)識到，用類似三次和四次方程求解的方法去導(dǎo)出五次方程的解是不可能的。比拉格朗日晚一輩的意大利數(shù)學(xué)家魯菲尼對這個問題也進(jìn)行了一番努力，他寫成了一篇五百多頁的論文，證明一般五次方程不能通過一個公式求解。然而，他的證明既冗長又有漏洞，并未被人們接受，同時也鮮為人知。

上大學(xué)以后，阿貝爾也開始往相反方向使力。終于在一八二四年，他成功地證明了五次或五次以上的方程不存在一般根式解?？墒牵廊粵]有人可以驗證他的證明。翌年，在教授們的幫助下，他獲得挪威政府的旅行獎學(xué)金，準(zhǔn)備去拜訪西歐國家一些知名數(shù)學(xué)家?？墒?，阿貝爾只是在柏林遇到一位業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者兼出版家克萊爾，他是繼霍爾姆伯之后第二個對他的事業(yè)有較大幫助的人。

克萊爾與霍爾姆伯都相信，阿貝爾是了不起的數(shù)學(xué)家?？巳R爾在一八二六年創(chuàng)辦了一本叫《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》的期刊，首卷即發(fā)表了阿貝爾的七篇論文，其中包括《四次以上方程的不可解證明》。在前三卷里，居然連續(xù)發(fā)表了阿貝爾的二十二篇論文，內(nèi)容涉及面很廣，包含方程論、無窮級數(shù)、橢圓函數(shù)論等。可是，這本如今德國最重要的數(shù)學(xué)雜志在當(dāng)時并沒有什么影響力。

在巴黎，那時和現(xiàn)在一樣，每到夏天大多數(shù)人都到海濱避暑去了。阿貝爾潛心于數(shù)學(xué)問題，完成了一篇關(guān)于超越函數(shù)的論文，遞交給法國數(shù)學(xué)界的元老勒讓德和權(quán)威柯西審閱，卻被忽視了。橢圓函數(shù)是復(fù)分析理論中非常重要的一種雙周期亞純函數(shù)，由阿貝爾首先定義，他把它看作橢圓積分的反函數(shù)。如今橢圓函數(shù)在數(shù)論和物理學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用，與橢圓曲線和模形式也有著深刻的聯(lián)系。

后來，比阿貝爾小兩歲的德國數(shù)學(xué)家雅可比稱贊阿貝爾的這篇論文“也許是這個世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”。多年以后，年輕一代的法國數(shù)學(xué)家埃爾米特仍然贊嘆，這篇論文里“留下來的東西足夠讓數(shù)學(xué)家們忙碌五百年”。一八三〇年，為了彌補以往的過失，法國科學(xué)院同時授予阿貝爾和雅可比數(shù)學(xué)大獎。遺憾的是，前一年阿貝爾已經(jīng)病逝。

再來說說讓阿貝爾獲得信心和旅行獎學(xué)金的那篇有關(guān)高于四次的方程不可解性的論文，在他出發(fā)旅行之前，便在奧斯陸印刷了好多份?？墒?，為了節(jié)省費用，阿貝爾把論文壓縮成只有六頁的篇幅。這樣一來，對大多數(shù)人來說，即便是數(shù)學(xué)同行，也幾乎像密碼一樣晦澀難讀了。其結(jié)果是，原先阿貝爾希望作為“名片”或敲門磚的論文沒有起到任何效果。

《數(shù)學(xué)傳奇：那些難以企及的人物》

高斯在哥廷根自然也收到一份，但他恐怕不會相信，這么一個世界性難題被一個名不見經(jīng)傳的來自偏遠(yuǎn)地區(qū)的年輕人用這么幾頁紙給解決了。高斯并沒有把它扔進(jìn)廢紙簍，而是夾在一疊紙或某兩本書之間。高斯去世以后，有人在整理他的遺物時發(fā)現(xiàn)，內(nèi)置阿貝爾論文的信封并沒有被裁開。在這一不幸事件中，蒙受損失的不僅是阿貝爾，也包括整個數(shù)學(xué)學(xué)科。

阿貝爾證明了高于四次的方程沒有一般的根式解的關(guān)鍵在于，他修正了魯菲尼證明中的一個缺陷，盡管他并不知曉后者的工作。阿貝爾證明的是如今被稱為阿貝爾定理的命題：如果一個方程能用根式求解，那么出現(xiàn)在根的表達(dá)式中的每個根式，一定可以表示成該方程的根和某些單位根的有理函數(shù)。正是利用這個定理，阿貝爾證明了五次或五次以上的方程沒有一般的根式解。

另一方面，阿貝爾并未否定對某些特殊的高次方程來說存在根式解的可能性。事實上，早在一八〇一年出版的《算術(shù)研究》里，高斯已經(jīng)證明，分圓方程xp-1=0（p為素數(shù)）可以根式求解。阿貝爾也考慮了一類能用根式求解的特殊方程，現(xiàn)在這類方程被稱為阿貝爾方程。尤其是，他引進(jìn)了兩個十分重要的概念—“域”和“不可約多項式”。遺憾的是，因為早逝，他沒有完全解決方程的求解問題，這項工作要留待伽羅瓦來完成。

一八二七年，阿貝爾萬分無奈地返回祖國。之后他的生活變得更為艱難，沒有固定的工作和收入，只能以私人授課維持生計。翌年，他在一所大學(xué)找到代課教師職位，可是不久，他的身體卻垮了，他得了肺結(jié)核（一說他在巴黎時已患上），這在那個年代是不治之癥（黎曼患的也是同一種疾?。?。一八二九年四月六日，不滿二十七周歲的阿貝爾走完了他短暫的一生。

令人欣慰的是，阿貝爾生前體驗過愛的滋味。一八二三年，即阿貝爾證明高于四次的方程不可解的頭一個夏天，他在一位教授的資助下，去哥本哈根過暑假，在那里見到了幾位著名數(shù)學(xué)家。在哥本哈根，他遇見了同胞克里斯汀，那是在她叔叔家的舞會上。當(dāng)樂隊演奏起華爾茲時，兩人尷尬地站在那里，他們對這一新舞曲不甚了解，于是一起悄悄地離開。

第二年圣誕節(jié)過后，阿貝爾向他的同學(xué)和老師們宣布他訂婚了。但阿貝爾尚且不能養(yǎng)活自己，更無力迎娶克里斯汀。一八二八年圣誕節(jié)，他乘雪橇回去看望未婚妻，途中病情加重；雖然暫時的好轉(zhuǎn)讓他們一起享受了假期，但他最終沒有熬過那年春天。

克里斯汀

就在阿貝爾去世后的第三天，克萊爾的一封信到達(dá)挪威。原來克萊爾一直在柏林為阿貝爾找工作，最終成功地讓他獲得柏林大學(xué)的教授職位。但是，這個好消息來得太晚了。此外，四位法國科學(xué)院院士也曾聯(lián)袂給瑞典－挪威國王寫信，希望他重視阿貝爾這位天才。除了證明高于四次的方程不存在根式解以外，阿貝爾還是橢圓函數(shù)論的奠基人之一，他為無窮級數(shù)理論奠定了嚴(yán)密的基礎(chǔ)，同時求解出了第一個積分方程。

伽羅瓦理論

一八二七年春天，就在阿貝爾去世前五天，還是中學(xué)生的伽羅瓦發(fā)表了第一篇論文，那是一篇有關(guān)連分?jǐn)?shù)的論文，但他并不滿足于此。與阿貝爾一樣，伽羅瓦起初也把目標(biāo)對準(zhǔn)五次和五次以上方程的可解性問題，他著力于尋找這類方程的一般根式解，以求一鳴驚人?？墒呛髞?，他也轉(zhuǎn)移了目標(biāo)。

為了研究方程的可解性問題，伽羅瓦發(fā)明了“群”的概念，進(jìn)而他建立起一門新的數(shù)學(xué)分支，現(xiàn)在人們稱這套方法為伽羅瓦理論。所謂群，是由一些元素組成的，記為G（group）。這些元素之間存在一種運算×，它滿足四條性質(zhì)：封閉性，a和b屬于G，則a×b也屬于G；結(jié)合律，a、b、c屬于G，則(a×b)×c=a×(b×c)；存在單位元1屬于G，即對任意a屬于G，滿足1×a=a×1=a；對任何a屬于G，存在逆元素b，a×b=b×a=1。

如同高斯所證明的，每個n次復(fù)系數(shù)方程有n個復(fù)根。依照排列組合原理，n個根有n階乘（n!）個置換，它們在乘法意義上構(gòu)成置換群Sn。例如，三次方程的三個根x1、x2、x3組成的置換群S3共有6個元素，如果用下標(biāo)表示的話便是（1），（12），(13)，(23)，（123）和（132），其中（1）表示恒等置換，（12）表示x1和x2互換，而（123）表示x1、x2、x3輪換。

按照拉格朗日定理，對有限群來說，子群的階數(shù)（元素個數(shù)）必整除群的階數(shù)，兩者相除所得的整數(shù)叫指數(shù)。伽羅瓦定義了正規(guī)子群，它是一種性質(zhì)較好的子群。例如，（1）（123）（132）組成的子群H是正規(guī)子群，階數(shù)最高的正規(guī)子群稱為最大正規(guī)子群。對于方程的可解性判斷來說，伽羅瓦理論的精妙之處在于：n次方程根式可解當(dāng)且僅當(dāng)它的置換群Sn的最大正規(guī)子群系列之間的指數(shù)均為素數(shù)。

例如，S3的最大正規(guī)子群系列為S3、H、單位元群，其指數(shù)6/3=2，3/1=3，均為素數(shù)，故根式可解。而對于S4來說，它有24個元素，其最大正規(guī)子群G4有12個元素，G4的最大正規(guī)子群G3有4個元素，G3的最大正規(guī)子群G2有2個元素，最大正規(guī)子群系列的指數(shù)分別為24/12=2，12/4=3，4/2=2，2/1=2，均為素數(shù)，故也根式可解。

當(dāng)n>4時，Sn的最大正規(guī)子群An共有n!/2個元素，而An的正規(guī)子群只有單位元群，因此其最大正規(guī)子群系列的指數(shù)為2和n!/2，后者當(dāng)n>4是必不為素數(shù)。依據(jù)伽羅瓦理論，方程沒有一般根式解。多么美妙簡潔的判斷和證明！這是十八歲的伽羅瓦的獨立發(fā)現(xiàn)。它先是由理查德帶給柯西，爾后又以《一個方程可以通過開方解出的條件》為題，遞交給法蘭西科學(xué)院，參與那年的數(shù)學(xué)大獎賽。

遺憾的是，法國數(shù)學(xué)的執(zhí)牛耳者柯西忽視了伽羅瓦的論文（此時勒讓德已老態(tài)龍鐘），科學(xué)院秘書傅里葉又突然逝去，遺失了伽羅瓦的論文。如前所說，最后大獎頒給了德國數(shù)學(xué)家雅可比和已經(jīng)去世的阿貝爾。說到柯西，他是歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，以他名字命名的定理遍布高等數(shù)學(xué)教程，而傅里葉發(fā)明的三角級數(shù)理論是應(yīng)用數(shù)學(xué)最強有力的工具之一。

說到伽羅瓦理論，那是一種更一般的理論形式，這要依賴阿貝爾首先提出的“域”的概念。域是至少有兩個元素的數(shù)集，它對應(yīng)加減乘除（除數(shù)不為0）運算是封閉的，記為F（field）。正如群有子群，數(shù)域也有子域，若K是F的子域，則F是K的擴域。顯而易見，有理數(shù)、實數(shù)和復(fù)數(shù)都是域。有理數(shù)域是最小的域，實數(shù)域和復(fù)數(shù)域都是它的擴域。此外，形如a+b（a和b是有理數(shù)）的全體也是域。

伽羅瓦定義了“方程的群”（伽羅瓦群），它是由一部分置換組成的子群，這些置換保持根的代數(shù)關(guān)系不變，即具有對稱性。伽羅瓦證明了，對任意n，總能找到一些方程，其伽羅瓦群為整個Sn。而伽羅瓦擴域基本定理是說，方程的系數(shù)域與根域之間的所有域與伽羅瓦群的所有子群之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。這是伽羅瓦理論的核心，它幫助我們通過研究較為簡單的置換群來解決復(fù)雜的域的問題。

報考綜合理工學(xué)校失利和成果兩次錯失被承認(rèn)的機會，遠(yuǎn)不是伽羅瓦最背運的遭遇。十八歲那年，他又一次報考綜合理工學(xué)校，其結(jié)果是“一個較高智商的考生在一個較低智商的考官面前失敗了”。從此，這所大學(xué)對他永遠(yuǎn)關(guān)閉了大門，因為只允許每個考生報考兩次。據(jù)說，一道口試題他明明答對卻被判錯。離開考場前，憤怒的伽羅瓦把黑板擦擲到考官臉上。

最沉重的打擊是父親的慘死，那件事發(fā)生在他第二次報考綜合理工學(xué)校前夕。作為鎮(zhèn)長的老伽羅瓦支持市民反對神父，成為教士們惡意攻擊的對象，一個詭計多端的年輕神父利用鎮(zhèn)長喜歡寫詩的癖好，模仿他的語氣寫了一首下流骯臟的詩，并簽上鎮(zhèn)長大名在市民中間散發(fā)。這讓極其正派的鎮(zhèn)長無地自容，他獨自去了巴黎，在離兒子學(xué)校不遠(yuǎn)處某個地方打開煤氣窒息而亡。

伽羅瓦就讀的巴黎路易學(xué)校

進(jìn)不了綜合理工學(xué)校，伽羅瓦只得去投考師范預(yù)科學(xué)校，即如今赫赫有名的巴黎高等師范學(xué)校，當(dāng)時它的聲望并不高。盡管遇到麻煩，偏科嚴(yán)重的伽羅瓦還是被錄取了。一八三〇年，伽羅瓦發(fā)表了兩篇方程論文和一篇數(shù)論論文，后者首次提出了有限域的概念。然而，革命的槍聲響起，義無反顧參與其中的伽羅瓦不久被學(xué)校開除。第二年，他又兩次作為政治犯被捕，最后一次判了六個月徒刑，關(guān)押在巴黎的圣佩拉杰監(jiān)獄。

一八三二年春天，巴黎霍亂流行，每天有上百人死亡。伽羅瓦得以被假釋，從監(jiān)獄轉(zhuǎn)移到“康復(fù)之家”。在那里，他經(jīng)歷了一生唯一的戀愛。可是，這次戀愛既短暫又不幸。不滿十七歲的少女斯蒂芬妮是“康復(fù)之家”主人的女兒，她在激起伽羅瓦對其產(chǎn)生興趣后又冷淡了他。他隨后寫信給一位朋友，“我對一切的幻想已破滅，甚至對愛情和名聲的幻想也已破滅”。

遲來的榮譽

二〇〇二年八月五日是阿貝爾二百周年誕辰，這一天挪威政府宣布設(shè)立阿貝爾數(shù)學(xué)獎，以彌補鄰國瑞典的諾貝爾所設(shè)獎項的缺陷。按照挪威國王的提議，阿貝爾獎的獎金接近諾貝爾獎，每屆獲獎人數(shù)最多兩名，少于諾貝爾科學(xué)獎的獲獎人數(shù)。第一屆阿貝爾獎于二〇〇三年頒發(fā)，得主是伽羅瓦同胞塞爾。至今，此獎設(shè)立還不到二十年，卻已取代歷史悠久的沃爾夫獎，成為數(shù)學(xué)領(lǐng)域最重要的終身成就獎。

阿貝爾數(shù)學(xué)獎每年在奧斯陸大學(xué)法學(xué)院頒發(fā)

在阿貝爾之前，挪威從未產(chǎn)生過一位世界級的科學(xué)或文化巨人，但在阿貝爾之后，卻在不同領(lǐng)域接連出現(xiàn)彪炳史冊的人物：戲劇家易卜生、作曲家格里格、藝術(shù)家蒙克、探險家阿蒙森。這其中，寫作了《玩偶之家》和《皮爾·金特》的易卜生是在阿貝爾去世前一年出生的，而蒙克頻頻在憂郁、驚恐的精神控制下，以扭曲的線條表現(xiàn)暗淡的人生，又常讓人想起阿貝爾的悲慘命運。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，挪威也是人才輩出。例如索菲斯·李（Sophus Lie，1842-1899），二十一世紀(jì)兩個十分重要的數(shù)學(xué)分支——李群和李代數(shù)均得名于他。一八七二年，德國數(shù)學(xué)家克萊因發(fā)表了《埃爾蘭根綱領(lǐng)》，試圖用群論的觀點統(tǒng)一幾何學(xué)乃至整個數(shù)學(xué)，他所依賴的正是李的工作。二〇〇七年過世的美國數(shù)學(xué)家賽爾伯格也是挪威人，曾因給出素數(shù)定理的初等證明榮獲菲爾茨獎。

在阿貝爾去世三年以后，伽羅瓦面臨一場決斗，地點在巴黎郊區(qū)一個小湖附近。至于決斗的對手，在相隔近兩個世紀(jì)后仍然撲朔迷離。政敵、學(xué)弟，抑或女孩的父親？反正最后的結(jié)局是，伽羅瓦被對手射中了腹部，并不是他的槍法不準(zhǔn)，而是兩把手槍里只有一把有子彈。后來，他被一個農(nóng)夫送到醫(yī)院，于次日去世。只有弟弟被通知趕到醫(yī)院，伽羅瓦安慰他說，“不要哭，我需要我的全部勇氣在二十歲時死去”。

在決斗前夜，伽羅瓦預(yù)感到自己的結(jié)局不妙，他寫下了三封絕筆信。兩封是給他的政黨同道，希望他們不要責(zé)怪殺死他的人，另一封是科學(xué)遺囑，幾乎完整地表述了深奧的伽羅瓦理論。伽羅瓦去世兩天后，他的遺體被安葬在蒙巴納斯公墓，具體地點無人知曉。而在他故鄉(xiāng)小鎮(zhèn)拉賴因堡的公墓里，在他的親人們安葬的墓旁邊，后來豎立起一座伽羅瓦紀(jì)念碑。

伽羅瓦的工作開啟了近世代數(shù)的研究，不僅解決了方程可解性這一難題，更重要的是，群概念的引進(jìn)導(dǎo)致代數(shù)學(xué)在對象、內(nèi)容和方法上的深刻變革。實際上，環(huán)、域和向量空間等代數(shù)結(jié)構(gòu)也可看作是具有附加運算和公理的群。群作為“數(shù)學(xué)抽象的最高藝術(shù)”，有著越來越廣泛的應(yīng)用，從晶體結(jié)構(gòu)到基本粒子，從量子力學(xué)到材料科學(xué)，群論也是公鑰密碼術(shù)的核心。正是由于阿貝爾和伽羅瓦的工作，數(shù)學(xué)家們得以把更多精力投入到數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展和革新。

一九二九年，在阿貝爾逝世一百周年之際，挪威發(fā)行了一套四枚不同面值和顏色的紀(jì)念郵票。半個世紀(jì)以后，他的肖像印在挪威面值最高的五百克朗紙幣上。在阿貝爾的故鄉(xiāng)弗羅蘭和首都奧斯陸，都立有他的塑像。相比之下，法國杰出的人才實在太多了，包括偉大的數(shù)學(xué)家。不過，巴黎第二十區(qū)有條街道以伽羅瓦的名字命名。

伽羅瓦紀(jì)念碑

無論如何，阿貝爾和伽羅瓦這對數(shù)學(xué)精靈生活在同一個時代，世所罕見。盡管他們成長的環(huán)境截然不同，一個在貧窮落后的挪威荒島，一個在科學(xué)發(fā)達(dá)的法國首都，命運卻十分相似。雖說他們念中學(xué)時都遇到一位好老師，但他們的偉大成就生前都被忽視了。最后的結(jié)局是，一個死于疾病，一個死于決斗。而在他們身后，都被公認(rèn)為是十九世紀(jì)乃至是人類歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。

盡管生前阿貝爾寫作和發(fā)表的論文比伽羅瓦要多許多，最終的成就卻旗鼓相當(dāng)。代數(shù)里有所謂的阿貝爾群和伽羅瓦域。群是伽羅瓦的發(fā)現(xiàn)，阿貝爾群指任意兩個元素的運算交換秩序之后保持不變的群，即交換群；域是阿貝爾的創(chuàng)造，伽羅瓦域指域中的元素只有限多個，即有限域?？梢哉f，群和域這對名詞意味著阿貝爾與伽羅瓦這兩位數(shù)學(xué)天才的珠聯(lián)璧合。

本文首發(fā)于《書城》（2021年4月號）。