數學不可思議，甚至能為你贏得免費飲料

觀察一下你身邊的飲料杯，比如品脫杯或者馬克杯，雖然它們形態(tài)各異，但幾乎可以肯定，它們杯口的周長總是大于它們的高度。像品脫杯這樣的器皿，看上去好像高度大于周長，但事實上，標準的英式品脫杯的周長是高度的1.8倍；而隨處可見的連鎖咖啡店星巴克里的中杯外帶杯，其周長其實是自身高度的2.3倍（不過，他們拒絕了我將其更名為“矮杯”的請求）。

知道這個常識對你非常有好處。要是下次再去酒吧、咖啡館或其他提供飲料的地方，你可以和朋友打賭，賭定他們手里的杯子杯口的周長都大于高度，贏的話就讓他們免費給你飲料。如果現(xiàn)場有帶柄的啤酒杯或者大得離譜的馬克杯，你要清楚，它們的周長通常是高度的3倍以上。你甚至可以把三個這樣的杯子夸張地疊在一起，并打賭這時的周長仍大于總高。這時候拿出卷尺或許會讓你的對手懷疑你在作弊，你可以就近找根吸管，或者用吸管紙?zhí)着R時充當量尺。

這個結論適用于除了最瘦長的香檳杯以外的所有杯子。如果你想偷偷驗證一下，又不想引起對手懷疑，可以用手握住杯子，你會發(fā)現(xiàn)你的大拇指無法在另一面碰到另外四指?，F(xiàn)在，用大拇指和食指去夠杯子的兩端，卻基本上都會夠到。這就巧妙地證明了普通杯子的高度比周長小很多了。

這正是我想讓更多人了解的數學：數學不可思議，出乎意料，甚至能為你贏得免費飲料。我寫本書的目的就是向讀者展示數學中的有趣之處。但不幸的是，多數人覺得數學只是中學要求的課程。事實上，數學遠不止如此。

在一些不恰當的情況下，數學確實會讓人感覺乏味。隨便走進一間數學課堂，你極有可能會看到教室里絕大部分學生都不怎么開心，更壞一點，他們可能會立刻要求你離開教室，甚至報警，那么你的名字可能就會被列入黑名單。這些學生們對數學的壞印象，是從之前的學生那里代代相傳而來的。當然，這其中不乏例外，有些學生一直熱愛數學，成為數學家，把余生奉獻給數學。究竟是什么讓這些學生享受數學，而其他同學卻都不喜歡呢？

我曾經也是這少數學生中的一員：我能在乏味的練習題之外探尋到數學的精髓，也就是背后的邏輯。但我能體諒我周圍的同學們，尤其是那些偏愛運動的同學。因為在學校里，我也曾像他們懼怕數學課一樣懼怕足球訓練。但是我很清楚花費大量時間在錐形筒之間練習帶球的意義：他們在建立扎實的基本功，以便在真正的足球比賽中揮灑自如。因此，我也清楚為什么偏愛體育的那些同學討厭數學：與足球相反，學生們練習數學，卻沒有“數學運動場”能讓他們好好地運用學到的數學知識。

這就是這些學生眼中的數學，也正是人們不會選擇成為數學家的原因。數學工作者并不像人們想象的那樣，只是做更難的加法或更長的除法，這就好比專業(yè)的足球運動員在比賽中也不僅僅是帶球跑得更快而已。專業(yè)的數學家會利用他們學到的理論和技巧去探索數學領域，尋找新的發(fā)現(xiàn)。他們會在高維空間中尋找新的圖形，尋找新的數的類別，或在無窮之外探索新世界，而不僅僅是進行運算而已。

告訴你一個秘密：對數學家而言，數學是一場規(guī)模宏大的超級聯(lián)賽，而告訴你更多數學的秘密也正是本書的目的。為你打開通往這個世界的門，讓你學會和數學打交道的方法。這樣，你就可以像數學家一樣參與到這場超級聯(lián)賽中。即使你本就是熱愛數學的孩子，也仍然可以發(fā)現(xiàn)很多新鮮事物。本書的所有內容都源于你能實際運用的數學。你可以學會做一個四維物體，也可以深入理解那些違反直覺的圖形，還可以編出不可思議的繩結。當然，書籍本身也是一項令人驚嘆的技術，擁有最先進的暫停功能。當你想停留片刻去玩一些數學小把戲時，盡管去，本書將靜靜地停留在原地，不變一字，等著你歸來。

當然，從現(xiàn)代醫(yī)學背后的數據分析到手機間信息傳輸背后的公式，幾乎所有令人欣喜的前沿科技的核心都是數學。但即使是那些基于相應數學原理的技術，最初也是因為數學家覺得解決一道謎題很有趣才發(fā)展起來的。

這就是數學的本質。數學是對規(guī)律與邏輯的純粹追求，一直在滿足我們對未知事物的好奇心。新的數學發(fā)現(xiàn)可能會有數不清的實際應用，甚至成為我們生活中不可或缺的一部分，但這并不是這些原理被發(fā)現(xiàn)的原因。正如諾貝爾物理學獎獲得者理查德·費曼（Richard Feynman）所說，“物理學就像性愛，它確實有實際的用處，但那絕不是我們研究它的原因”。

我也希望大家能更關注學校里學的數學，因為沒有這些基礎，我們無法發(fā)現(xiàn)數學的有趣之處。每位學生應該都依稀記得數學常數π（大約等于3.14），有些人會記得它是圓的周長與其直徑的比值。正因為π，我們才知道玻璃杯口的周長是其直徑的3倍多。而杯子直徑往往是我們判斷杯子大小的根據，但我們總忘記乘以π。π不應該只是一個存在于我們記憶中的數值，而應該在現(xiàn)實生活中為我們所用。但遺憾的是，很少有學校會教你怎樣在酒吧贏取免費飲料。

但我們不能全盤忽視學校教授的數學，因為數學的趣味總是伴隨著它的乏味。這也是一些人覺得數學很難的部分原因：在學習數學的過程中，他們錯失了一些關鍵步驟，所以更高的層次便顯得遙不可及。如果他們可以一步一個腳印，以正確的順序走好每一步，那么數學其實不會太難。

數學中沒有什么是難以掌握的，但是有時候以正確的順序學習數學非常重要。當然，攀登一個高高的階梯，或許自始至終需要付出很多努力，但攀爬每一級臺階耗費的力氣是一樣的。數學也是如此，一步一步攀登，其樂無窮。如果你理解素數，那么探索素繩結就會容易很多；如果你先掌握了三維圖形，那么四維圖形就不會那么難以想象。你可以將本書的每個章節(jié)想象成一個結構體，每個章節(jié)都基于前面的一些章節(jié)。

你也可以跳過一些章節(jié)選擇自己的探索路徑，只要你在探索后面某個章節(jié)之前已經掌握了它所依賴的所有章節(jié)。隨著內容的推進，后面的章節(jié)會涵蓋越來越多的高等數學知識，這些內容你可能從來沒有在數學課堂中聽到過。它們初看起來嚇人，但別擔心，只要你以正確的順序學習這些知識，當你到達數學世界中遙遠的角落時，你就已經積累了足夠的知識來享受它們給予的所有樂趣和驚喜。

最后我要再強調一點，攀登本書階梯的動力應該是欣賞沿途的風景。長久以來，數學被看成是教育的同義詞，它本應該是趣味和探索的代名詞。當我們將謎題逐個解決，將數學游戲實踐，我們很快就能到達階梯的頂端，欣賞到大多數人從未見聞的數學之美。我們將能夠實踐那些超越一般人直覺的事物。在旅途中，數學會把我們帶入虛數的世界，向我們展示只有在196,883維空間才存在的圖形，向我們展示無窮之外的物體。從第四維到超越數，我們將逐漸領會。

本文為《我們在四維空間可以做什么：不用計算的18堂數學課》一書引言。

《我們在四維空間可以做什么：不用計算的18堂數學課》，【澳】馬特·帕克/著 李軒/譯，北京聯(lián)合出版公司·后浪2020年7月版。