數(shù)書九章

　　《數(shù)書九章》全書分為九章十八卷，一章一類，共有“大衍類”“天時類”“田域類”“測望類”“賦役類”“錢谷類”“營建類”“軍旅類”“市物類”等九類，每一類分布在兩卷當(dāng)中。每類9問，共計(jì)81問。全書內(nèi)容極為豐富，上至天文、星象、歷律、測候，下至河道、水利、建筑、運(yùn)輸，各種幾何圖形和體積，錢谷、賦役、市場、牙厘的計(jì)算和互易，充分體現(xiàn)了中國人的數(shù)學(xué)觀和生活觀。直至今日，《數(shù)書九章》中記載的許多計(jì)算方法和經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，仍有較高參考價值和實(shí)踐意義。第1類為“大衍類”，包括卷一、卷二。秦九韶在提出個問題“蓍卦發(fā)微”之后，先用較長的篇幅介紹了一種新的計(jì)算方法：大衍總數(shù)術(shù)。其中包括對正整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等數(shù)字類型的定義，以及用這些數(shù)字進(jìn)行求公約數(shù)、化簡的方法，例如“約奇弗約偶”“復(fù)乘求定”等操作。還包括“大衍求一術(shù)”，即解答一次同余式問題的方法，后來也被稱作“中國剩余定理”，500多年后，德國數(shù)學(xué)家高斯才提出類似的計(jì)算方法。之后，秦九韶利用大衍術(shù)解決了9個不同領(lǐng)域的同余問題，涉及占卜、歷法、建筑、貨幣換算、糧食交易、交通行程等方面。 第二類為“天時類”，包括卷三、卷四。其中的問題主要涉及三個方面。“推氣治歷”“治歷推閏”“治歷演紀(jì)”是有關(guān)歷法方面的計(jì)算問題，“綴術(shù)推星”“揆日究微”是將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于天文推算，而“天池測雨”“圓罌測雨”“峻積驗(yàn)雪”“竹器驗(yàn)雪”則是利用不同的容器去測量降雨、降雪的量，涉及容積計(jì)算等方法。 第三類為“田域類”，包括卷五、卷六。這一類的9個問題歸納總結(jié)了各種形狀的田地面積的計(jì)算方法，例如不規(guī)則四邊形、三角形、梯形、蕉葉形、環(huán)形等等，并且靈活處理了各種與田地面積相關(guān)的實(shí)際情況，例如被水沖去一部分后的剩余面積計(jì)算、三人分配田地的面積計(jì)算等。這一類的亮點(diǎn)在于兩種先進(jìn)計(jì)算方法的提出：一是已知三角形的三條邊長，求三角形面積的“三斜求積術(shù)”，這和西方的海倫公式異曲同工；二是求解一元高次方程的“正負(fù)開方法”。 第四類為“測望類”，包括卷七、卷八。這一類主要將《九章算術(shù)》中的勾股術(shù)、重差術(shù)用于實(shí)際問題，設(shè)想出若干復(fù)雜情境去測量山峰的高度和距離、河水的寬度、正方形城墻的邊長、圓形城墻的直徑和周長等。在這一類中，作者將上一類中介紹的正負(fù)開方術(shù)加以進(jìn)一步運(yùn)用，求解出了一元10次方程。 第五類為“賦役類”，包括卷九、卷十。這一類中探討了數(shù)學(xué)如何應(yīng)用于古代社會經(jīng)濟(jì)民生為重要的問題之一：徭役賦稅。其中有的問題關(guān)于不同等級的田地如何分配各類賦稅（“復(fù)邑修賦”“圍田租畝”），有的問題關(guān)于興造工程需要的人力和工作量計(jì)算（“筑埂均功”），有的問題關(guān)于不同賦稅內(nèi)容之間的折算（“寬減屯租），等等。在這一類中使用的主要是來自《九章算術(shù)》的衰分、商功、粟米等計(jì)算方法及其拓展，所進(jìn)行的主要是按比例分配、折算的數(shù)學(xué)方法操作。 第六類為“錢谷類”，包括卷十一、卷十二。這一類主要關(guān)注經(jīng)濟(jì)生活中的貨幣和糧食問題。例如不同貨幣之間的折算，不同地區(qū)米價的比較，囤米空間的尺寸計(jì)算，運(yùn)送糧食的運(yùn)費(fèi)計(jì)算，錢庫本金和利息的計(jì)算，以隨機(jī)抽樣法對糧食中的雜質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，等等。這一類在“賦役類”的基礎(chǔ)上增加了《九章算術(shù)》中少廣、均輸、盈不足等方法的運(yùn)用。 第七類為“營建類”，包括卷十三、卷十四。這一類是秦九韶本人非常感興趣的建筑問題，所營造的對象包括城墻、樓櫓、石壩、河渠、清臺、地基等，所計(jì)算的問題除了建筑的尺寸，還有所需各項(xiàng)材料以及人力的數(shù)量。在計(jì)算過程中，主要使用了《九章算術(shù)》中的商功、均輸、少廣以及方田等方法。 第八類為“軍旅類”，包括卷十五、卷十六。這一類的9個問題都與軍事有關(guān)，其中“計(jì)立方營”“方變銳陣”“計(jì)布圓陣”“圓營敷布”“望知敵眾”是計(jì)算排兵布陣的不同形狀和相應(yīng)的人數(shù)分配，“均敷徭役”是關(guān)于如何按比例派遣士兵：“先計(jì)軍程”計(jì)算行軍的路程，“軍器功程”“計(jì)造軍衣”則是關(guān)于兵器、軍服的制造問題。這一類仍然使用《九章算術(shù)》中的計(jì)算方法并有所拓展，關(guān)于陣法的計(jì)算與幾何問題有關(guān)，需要使用勾股術(shù)等，而其他問題則使用了商功、均輸、粟米、盈不足等方法。 第九類為“市物類”，包括卷十七、卷十八。“市物”，即交易貨物。這一類中的問題均與商業(yè)買賣有關(guān)，例如對物價、資本、利息、租金等的計(jì)算。這一類中使用了來自《九章算術(shù)》的方田、衰分、粟米、方程等計(jì)算方法，其中對方程法進(jìn)行了拓展，得到求解線性方程組的“互乘相消法”。在歐洲，早是公元1559年法國數(shù)學(xué)家布丟（約1490—1570年）開始用不很完整的加減消元法解一次方程組，比秦九韶晚了312年，且理論上的完整性也遠(yuǎn)遜于秦九韶。 本書的體例為：“問”：描述情景，提出問題；“答”：給出問題的答案；“術(shù)”：描述計(jì)算方法；“草”：給出詳細(xì)的演算過程。 為了使讀者能夠更清晰地理解原文，注譯者對原文中可能存在的疑難字詞作了“注釋”，并在每段原文的后面附上“譯文”，在“術(shù)”的譯文后面附上“譯解”，在“草”的譯文后面附上“術(shù)解”，使用精確而簡潔的現(xiàn)代漢語和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的表述方式對原文加以翻譯和解讀。其中有的問題“術(shù)”“草”較長，拆分為幾段，各自附上注解、譯文、譯解或術(shù)解。 相較于《九章算術(shù)》等前人的數(shù)學(xué)著作，“草”是《數(shù)書九章》的一大亮點(diǎn)。在《數(shù)書九章》中，秦九韶不厭其煩地給出了每道題目的具體演算過程，其中計(jì)算步驟和得數(shù)一目了然，并配有算籌圖。譯者在“術(shù)解”時，均將之化作今日讀者所習(xí)慣的阿拉伯?dāng)?shù)字和數(shù)學(xué)符號組成的算式，以利閱讀和理解。

　　作者簡介：秦九韶（1208年－1268年），字道古，中國古代杰出的數(shù)學(xué)家。南宋嘉定元年（1208年），生于普州（今四川安岳），紹定四年（1231年）中進(jìn)士，先后在湖北、安徽、江蘇、浙江等地為官。從政之余，他潛心研究數(shù)學(xué)。淳祐七年（1247年），他利用為母親守孝的三年時間，把長期積累的數(shù)學(xué)知識和研究所得編撰成書，這就是中國數(shù)學(xué)史上有重要地位的《數(shù)術(shù)大略》，即《數(shù)書九章》。譯者簡介： 宋璟瑤，女，上海海事大學(xué)外國語學(xué)院講師。“漢語篇章主位信息與習(xí)得研究”獲國家社會科學(xué)基金后期資助項(xiàng)目資助。