混沌、Melnikov方法及新發(fā)展（第二版）

目錄
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》序
第二版前言
第一版前言
第1章 動(dòng)力系統(tǒng)的基本概念 1
1.1 流和離散動(dòng)力系統(tǒng) 1
1.2 基本定義和性質(zhì) 3
1.3 拓?fù)涔曹?、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與分枝 7
第2章 符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)、有限型子移位和混沌概念 9
2.1 符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng) 9
2.2 有限型子移位 11
2.3 Li-Yorke定理和Sarkovskii序 12
2.4 混沌概念的推廣 17
第3章 二階周期微分系統(tǒng)與二維映射 20
3.1 二階周期微分系統(tǒng)的諧波解 20
3.2 脈沖激勵(lì)系統(tǒng)的Poincaré映射 22
3.2.1 單位跳躍函數(shù)與δ-函數(shù) 22
3.2.2 具有脈沖作用的線性微分方程組的解矩陣 24
3.2.3 脈沖參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng) 26
3.3 Poincaré映射的線性近似與周期解的穩(wěn)定性 28
3.4 二維線性映射 31
3.5 二維映射的Hopf分枝與Arnold舌頭 36
第4章 Smale馬蹄與橫截同宿環(huán) 43
4.1 Smale的馬蹄映射 43
4.2 Moser定理及其推廣 48
4.3 二維微分同胚的雙曲不變集、跟蹤引理和Smale-Birkhoff定理 56
4.3.1 二維微分同胚的雙曲不變集 56
4.3.2 跟蹤引理 63
4.3.3 Smale-Birkhoff定理與混沌運(yùn)動(dòng) 67
4.4 Rm上的Cr-微分同胚的不變集與雙曲性 70
4.5 分枝到無(wú)窮多個(gè)匯 77
4.6 Hénon映射的Smale馬蹄 79
第5章 平面Hamilton系統(tǒng)和等變系統(tǒng) 85
5.1 二維可積系統(tǒng)與作用-角度變量 85
5.2 等變動(dòng)力系統(tǒng)的定義和例子 91
5.3 幾類對(duì)稱系統(tǒng)的周期軌道族與同宿軌道 99
5.4 周期解族周期的單調(diào)性 107
第6章 Melnikov方法:擾動(dòng)可積系統(tǒng)的混沌判據(jù) 113
6.1 由更替法導(dǎo)出的Melnikov函數(shù) 113
6.2 次諧波分枝的存在性及其與同宿分枝的關(guān)系 119
6.3 次諧波解的穩(wěn)定性 124
6.4 周期擾動(dòng)系統(tǒng)的Melnikov積分 129
6.5 周期擾動(dòng)系統(tǒng)的次諧波Melnikov函數(shù) 135
6.6 慢變振子的周期軌道 139
6.7 慢變振子的同宿軌道 152
第7章 Melnikov方法：應(yīng)用 162
7.1 軟彈簧Duffing系統(tǒng)的次諧與馬蹄 162
7.1.1 次諧分枝到馬蹄的途徑 163
7.1.2 混沌帶的存在 168
7.1.3 有限次次諧分枝導(dǎo)致混沌的可能性 170
7.1.4 超次諧分枝的存在性 172
7.2 Josephson結(jié)的I-V特性曲線 174
7.2.1 馬蹄的產(chǎn)生 176
7.2.2 次諧的存在性 178
7.2.3 次諧分枝軌道的穩(wěn)定性 180
7.2.4 平均值的性質(zhì) 181
7.3 兩分量Bose-Einstein凝聚態(tài)系統(tǒng)的混沌與分枝 185
7.3.1 系統(tǒng)(7.3.3)的分枝集和相圖 186
7.3.2 擾動(dòng)系統(tǒng)(7.3.4)的Melnikov分析及數(shù)值結(jié)果 192
7.4 大Rayleigh數(shù)Lorenz方程的周期解和同宿分枝 194
附錄 Jacobi橢圓函數(shù)有理式的Fourier級(jí)數(shù) 207
第8章 非自治受迫激勵(lì)的微分方程的混沌性質(zhì) 221
8.1 引言 221
8.2 定理的敘述 224
8.3 隨機(jī)受迫激勵(lì)系統(tǒng)的混沌性質(zhì) 232
8.3.1 受靜態(tài)隨機(jī)過(guò)程擾動(dòng)的方程的混沌性質(zhì) 232
8.3.2 兩個(gè)例子 234
8.4 對(duì)Duffing方程的應(yīng)用 242
8.5 在延展的相平面上的Poincaré返回映射 247
8.5.1 局部線性化 247
8.5.2 圍繞同宿圈的標(biāo)準(zhǔn)型 248
8.5.3 Poincaré截面Σ± 250
8.5.4 映射M:Σ→Σ+ 251
8.5.5 返回映射R 254
8.6 相關(guān)定理證明 255
8.6.1 定理8.2.1的證明 256
8.6.2 定理8.2.2的證明 256
8.6.3 定理8.2.3與定理 8.2.4的證明 257
8.6.4 定理8.2.5的證明 258
附錄 命題 8.5.1和命題8.5.2的證明 259
第9章 高階Melnikov積分 265
9.1 基本方程 265
9.2 主要結(jié)果 267
9.3 具體例子 267
9.4 高階Melnikov積分推導(dǎo) 268
9.4.1 一階變分方程 268
9.4.2 穩(wěn)定解的微分方程與積分方程 270
9.4.3 定理9.2.1的證明 274
9.4.4 定理9.3.1中E1(t0)的計(jì)算 278
第10章 秩一吸引子的概念和混沌動(dòng)力學(xué) 289
10.1 秩一吸引子的概念和混沌動(dòng)力學(xué)理論 289
10.1.1 可允秩一映射族 289
10.1.2 秩一吸引子的存在性 290
10.1.3 好參數(shù)集的歸納構(gòu)造 291
10.1.4 秩一吸引子的混沌動(dòng)力學(xué) 292
10.2 在常微分方程中的應(yīng)用 293
10.2.1 有同宿軌道的系統(tǒng)的周期擾動(dòng) 293
10.2.2 具有超臨界Hopf分枝的自治系統(tǒng)的周期脈沖參數(shù)激勵(lì) 294
10.2.3 存在極限環(huán)的自治系統(tǒng)的周期脈沖參數(shù)激勵(lì) 296
第11章 耗散鞍點(diǎn)的同宿纏結(jié)動(dòng)力學(xué) 300
11.1 基本方程和返回映射 300
11.2 動(dòng)力學(xué)結(jié)果 304
11.3 具體例子及數(shù)值結(jié)果 307
11.4 映射R的具體推導(dǎo) 312
附錄 Melnikov函數(shù)(11.1.3)與Melnikov函數(shù)(6.4.21)的關(guān)系 318
第12章 耗散鞍點(diǎn)的異宿纏結(jié)動(dòng)力學(xué) 321
12.1 基本方程和返回映射 321
12.2 動(dòng)力學(xué)結(jié)果 327
12.3 具體例子及數(shù)值結(jié)果 336
12.4 返回映射F的推導(dǎo) 344
附錄 的極限 353
第13章 分界線指數(shù)小撕裂的判據(jù):直接法 354
13.1 問(wèn)題和結(jié)果介紹 354
13.1.1 本章 的主要結(jié)果 354
13.1.2 高階Melnikov積分 356
13.2 初等穩(wěn)定解的遞歸式 357
13.2.1 第一變分方程 358
13.2.2 穩(wěn)定解的微分方程 360
13.2.3 穩(wěn)定解的積分方程 363
13.2.4 撕裂距離的遞歸推導(dǎo) 365
13.3 高階Melnikov積分 367
13.3.1 核函數(shù) 367
13.3.2 高階Melnikov積分的定義 371
13.3.3 作為高階Melnikov積分的集合的撕裂距離 374
13.4 高階Melnikov積分的預(yù)備知識(shí) 375
13.4.1 廣義的和純的Melnikov積分 375
13.4.2 復(fù)Melnikov積分 377
13.4.3 一個(gè)簡(jiǎn)單的例子 379
13.5 純積分的處理 382
13.5.1 所有積分界的統(tǒng)一 382
13.5.2 移動(dòng)到復(fù)平面 384
13.5.3 T(k，v)與T(k，ω)的結(jié)構(gòu)樹 387
13.5.4 純積分的分解 390
13.6 分界線的指數(shù)小撕裂 392
13.6.1 在對(duì)稱性基礎(chǔ)上的刪減 393
13.6.2 主要定理的證明 395
13.7 命題13.3.1的證明 400
13.8 命題13.6.1的證明 406
13.9 命題13.6.2的證明 414
13.9.1 有一棵零子樹的積分 414
13.9.2 具有相互獨(dú)立的零子樹的純積分 417
13.9.3 一般情況的證明 424
參考文獻(xiàn) 430
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》已出版書目 450