工科微分流形研究導論

1 流形的數(shù)學基礎
1.1 空間Rn及其拓撲
1.2 映射
1.3 實分析
1.3.1 解析性
1.3.2 算符
1.3.3 換位子
1.4 群論
1.4.1 定義
1.4.2 李群
1.4.3 子群
1.4.4 同構和同態(tài)
1.5 小結
2 拓撲流形的來源和演變
2.1 微分流形的來源
2.2 流形概念的演變
2.3 小結
思考和練習題
3 微分流形
3.1 微分流形中重要的術語
3.1.1 拓撲流形
3.1.2 光滑映射基礎
3.1.3 微分流形
3.1.4 商流形
3.1.5 單位分解定理
3.2 切向量和切空間
3.2.1 歐氏空間的切向量
3.2.2 微分流形的切向量
3.2.3 切空間
3.2.4 余切空間
3.2.5 切空間與余切空間中的基變換
3.3 切映射
3.3.1 函數(shù)的拉回
3.3.2 切映射
3.3.3 切映射的局部坐標表示
3.3.4 余切映射
3.4 向量和向量場
3.5 小結
思考和練習題
4 映射和張量
4.1 從線性變換談起
4.2 映射
4.2.1 雙線性函數(shù)與矩陣、二次型之間的關系
4.2.2 雙線性函數(shù)空間
4.2.3 線性空間的張量積及泛性（同調代數(shù)中一個重要性質）
4.2.4 線性對偶
4.2.5 映射的微分
4.2.6 反函數(shù)定理
4.2.7 秩定理
4.3 張量
4.3.1 基本定義
4.3.2 張量的計算
4.3.3 度量張量
4.3.4 流形上的度量張量場
4.4 小結
4.4.1 基本概念
4.4.2 主要結論
思考和練習題
5 李導數(shù)、李代數(shù)和李群
5.1 李導數(shù)的導出
5.1.1 矢量場和積分曲線
5.1.2 d/dλ算符的求冪
5.1.3 李括號、非坐標基和李代數(shù)
5.1.4 李拉曳
5.2 李導數(shù)
5.2.1 李導數(shù)的基本概念
5.2.2 李導數(shù)的性質
5.2.3 李導數(shù)的應用
5.2.4 李導數(shù)的一個應用實例：S2的生成元
5.3 李代數(shù)
5.3.1 李代數(shù)的基本定義
5.3.2 基靈矢量場
5.3.3 矢量場和粒子動力學的守恒量
5.3.4 軸對稱性
5.4 李群
5.4.1 抽象李群
5.4.2 李群的實例
5.5 李代數(shù)和它們的群
5.5.1 李括號的一般定義
5.5.2 覆蓋
5.5.3 SU（2）
5.5.4 SU（2）的冪
5.5.5 SO（3）的冪
5.5.6 SU（2）涵蓋SO（3）
5.5.7 拓撲結構
5.6 小結
思考和練習題
6 微分形式的代數(shù)和微積分計算
6.1 微分形式的代數(shù)
6.1.1 體積的定義
6.1.2 反對稱張量的記法和定義
6.1.3 微分形式
6.1.4 微分形式的運算
6.1.5 1-微分形式和狄拉克δ函數(shù)
6.1.6 1-微分形式的梯度和表示
6.1.7 基1-微分形式和1-微分形式的分量
6.1.8 指數(shù)記號
6.2 微分形式的積分計算
6.2.1 微分形式的外積（展開）
6.2.2 微分形式的限制
6.2.3 微分形式的場
6.2.4 手征性與可定向性
6.2.5 體積和可定向流形上的積分
6.3 微分形式的代數(shù)（進一步展開）
6.3.1 N-矢量，對偶，符號εij…k
6.3.2 張量密度
6.3.3 廣義的克羅內克函數(shù)
6.3.4 行列式和εij
6.3.5 度量體積元素
6.4 微分形式的微分
6.4.1 外微分
6.4.2 外微分的常見例子
6.4.3 微分的外積運算
6.4.4 外微分式及其外微分式的外積運算
6.4.5 多變量積分中的積分微元代換公式
6.4.6 各階外微分式的外微分運算
6.4.7 牛頓-萊布尼茲公式，斯托克斯公式，格林公式高斯公式的統(tǒng)一描述
6.4.8 龐加萊引理及其逆
6.5 小結
思考和練習題
參考文獻