理性力學教程

目錄
前言
第1章 基礎知識 1
§1. 理性力學、相關數(shù)學術語和空間 1
l.1 什么是理性力學？ 1
1.2 數(shù)學術語 5
1.3 理性力學常用的空間 11
§2. 連續(xù)介質假設 20
2.1 物質世界的特征尺度 20
2.2 努森數(shù)與四種流動區(qū)間 22
2.3 連續(xù)介質假定 24
§3. 運動的兩種描述方法——歐拉和拉格朗日觀點 26
§4. 從質點和剛體動力學到連續(xù)介質力學 30
4.1 質點和剛體力學概述 30
4.2 從離散到連續(xù)的微元體方法 32
4.3 連續(xù)介質力學研究的幾位先驅性的工作 36
思考題和補充材料 38
參考文獻 60
第2章 矢量分析 62
§5. 矢量分析中的狄拉克符號 63
§6. 剛體平衡的兩個條件 64
§7. 質點動力學中速度和加速度的合成 65
§8. 克羅內克δ和置換符號 68
8.1 克羅內克δ符號 68
8.2 置換符號的基本定義 70
8.3 混合積和置換符號 71
思考題和補充材料 75
參考文獻 83
第3章 張量代數(shù)和微積分 84
§9. 張量的引入，二階投影張量 84
9.1 二階張量作為并矢的引入 84
9.2 現(xiàn)代數(shù)學對張量的引入一多重線性映射 86
9.3 二階投影張量的引入 88
§10. 愛丁頓張量和張量方程的廣義量綱原理 91
§11. 張量的縮并 94
11.1 解縮并 94
11.2 張量的冪 95
11.3 雙縮并 95
11.4 三縮并 97
§12. 張量的轉置、逆、對稱化、反對稱化，科恩不等式 97
§13. 譜定 31 104
13.1 譜分解定理的基本內容 104
13.2 譜定理在應力分解中的應用 107
§14. 數(shù)學算子一拉普拉斯和黑森算子 108
14.1 拉普拉斯算子▽2=▽ ▽=△ 109
14.2 黑森算子▽▽=▽*▽ 109
§15. 輕度量張量 112
§16. 克里斯托費爾符號和聯(lián)絡 124
16.1 曲紋坐標系的基矢量、黎曼度規(guī)張量 124
16.2 第二類克里斯托費爾符號 125
16.3 克里斯托費爾符號的應用 126
§17. 張量的標量函數(shù)的泰勒展開 129
17.1 多元矢量函數(shù)的泰勒展開 129
17.2 張量的標量函數(shù)的一階泰勒展開 130
§18. 張量的標量函數(shù)的微分 131
18.1 直角坐標系下的時間導數(shù) 132
18.2 張量的標量函數(shù)的微分 132
18.3 物質時間導數(shù)和空間時間導數(shù)之間的關系 137
§19. 四階單位張量、對稱的四階單位張量、四階投影張量 138
19.1 四階單位張量、對稱的四階單位張量 138
19.2 四階投影張量 140
思考題和補充材料 141
參考文獻 151
第4章 旋轉群，拓撲，微分流形上的張量分析 153
§20. 理性力學中常用的群論 153
20.1 對稱與群 153
20.2 外爾的小冊子——《對稱》 155
20.3 旋轉李群——SO(n)和 SU(n) 157
20.4 理性力學中常用的正交群 161
20.5 阿貝爾、伽羅瓦在建立群論過程中曲折經歷 165
§21. 微分流形 167
21.1 高斯與內蘊微分幾何 168
21.2 黎曼與流形 169
21.3 流形的定義 170
§22. 拓撲學與拓撲相變 171
22.1 拓撲學與虧格 171
22.2 拓撲相變 173
§23. 微分同胚，坐標圖冊，切空間，余切空間 176
23.1 微分同胚 176
23.2 坐標圖冊 178
23.3 切空間，余切空間 180
§24. 微分形式，外微分運算 181
24.1 微分形式的引入 181
24.2 外微分運算，龐加萊引理 182
24.3 斯托克斯定理 186
24.4 霍奇星算子和對偶 187
24.5 霍奇星號在麥克斯韋方程組中的應用 190
§25. 流形上的矢量和張量分析 192
25.1 推前和拉回映射 192
25.2 李導數(shù) 193
25.3 黎曼度量與黎曼流形 194
思考題和補充材料 195
參考文獻 197
第5章 變形運動學、功共軛 198
§26. 變形梯度F及其極分解 198
26.1 變形梯度張量F及其轉置、逆、逆的轉置的詳細推導 198
26.2 變形梯度的極分解 203
§27. 拉格朗日描述下的格林應變與歐拉描述下的阿爾曼西應變 204
27.1 拉格朗日描述下有限變形的格林應變 204
27.2 歐拉描述下有限變形的阿爾曼西應變 213
§28. 賽斯-希爾應變度量 214
28.1 希爾應變度量 214
28.2 賽斯應變度量 216
§29. 功共軛 218
29.1 面元變換的南森公式 218
29.2 基爾霍夫應力、第一類和第二類皮奧拉—基爾霍夫應力(PK1和PK2) 220
29.3 功共軛 221
思考題和補充材料 227
參考文獻 237
第6章 守恒律與場方程 238
§30. 雷諾輸運定理 238
§31. 質量守恒 240
31.1 歐拉描述下的質量守恒方程 240
31.2 拉格朗日描述下的質量守恒方程 242
31.3 笛卡兒坐標系、柱坐標系和球坐標系下的質量守恒方程 243
§32. 動量守恒 243
32.1 動量守恒與空間平移不變性 243
32.2 歐拉描述下流體的動量守恒方程 244
32.3 歐拉描述下固體的動量守恒方程 244
32.4 拉格朗日描述下固體的動量守恒方程 245
§33. 動量矩守恒 246
33.1 角動量守恒與空間旋轉不變性 247
33.2 柯西應力的對稱性 247
33.3 用PK1表示應力的對稱性條件 247
§34. 能量守恒 248
34.1 能量守恒與時間平移不變性 248
34.2 歐拉描述下流體力學的能量守恒 248
34.3 固體力學中的動能定理 250
34.4 固體力學中的能量守恒律 250
§35. 熵守恒和熱力學不等式 251
35.1 熵平衡方程和熵不等式 251
35.2 熱力學第二定律在固體力學中的應用 252
思考題和補充材料 255
參考文獻 257
第7章 連續(xù)介質力學中的客觀性 258
§36. 標量，位移、速度、加速度矢量的歐幾里得客觀性 258
36.1 歐幾里得變換 258
36.2 標量和位移矢量的歐幾里得客觀性 259
36.3 速度矢量的歐幾里得客觀性 259
36.4 加速度矢量的歐幾里得客觀性 259
§37.張量的歐幾里得客觀性和客觀率 261
37.1 變形梯度張量的歐幾里得客觀性 261
37.2 柯西應力的歐幾里得客觀性 262
37.3 PK1和PK2應力張量的歐幾里得客觀性 262
37.4 速度梯度、應變率、旋率張量的歐幾里得客觀性 263
37.5 客觀矢量率的定義 263
37.6 客觀張量率的定義 264
§38. 流體動力學的客觀性 265
38.1 基本方程組 265
38.2 基本方程組的無量綱化 267
38.3 雷諾數(shù)相似性 268
38.4 時空不變性 268
38.5 時間反演不變性 269
38.6 旋轉和反射不變性 269
38.7 伽利略不變性 270
38.8 擴展伽利略不變性 270
38.9 標架旋轉 271
38.10 關于虛擬力的進一步討論 272
思考題和補充材料 273
參考文獻 274
第8章 本構關系 275
§39. 理性力學中的公理 275
39.1 本構公理的提出與建立 275
39.2 里夫林等學者對連續(xù)介質力學公理的批評 277
§40. 線彈性本構關系——廣義胡克定律 278
40.1 材料力學和彈性力學中的廣義胡克定律（應變-應力關系式） 279
40.2 應力-應變關系式 282
40.3 對彈性常數(shù)的限制 283
40.4 固體力學材料常數(shù)常用關系的簡單證明 284
§41. 流體力學本構關系 285
41.1 帕斯卡定律和帕斯卡水桶實驗 286
41.2 流體本構關系的一般形式 286
41.3 牛頓流體本構關系的一般形式 287
§42. 不可壓縮超彈性材料的新胡克本構模型 288
§43. 超彈性材料的本構方程和應力 292
43.1 用PK1表示的不可壓縮（J=1）和可壓縮（J≠1)的超彈性本構關系 292
43.2 用PK2和PK1表示的可壓縮和不可壓縮的超彈性本構關系 293
43.3 用柯西應力表示的可壓縮和不可壓縮的超彈性本構關系 294
§44. 可壓縮超彈性體材料的穆尼-里夫林本構模型 299
思考題和補充材料 301
參考文獻 303
第9章 虛功原理在連續(xù)介質力學中的應用 305
§45. 微元長度、面積、體積和雅可比的變分 305
45.1 知道虛位移后如何確定虛體積？ 305
45.2 知道虛位移后如何確定雅可比的變分？ 305
45.3 知道虛位移后如何確定微線段矢量的變分？ 306
45.4 知道虛位移后如何確定微面積矢量的變分？ 307
§46. 虛功原理在連續(xù)介質力學中的應用 308
46.1 當前構形中的虛位移 308
46.2 和變形梯度張量相關的變分 309
46.3 格林和柯西應變張量的變分 309
46.4 虛功原理 310
§47. 貝蒂定理與材料彈性模量對稱性之間的關系 311
47.1 積分法 311
47.2 微分法 312
思考題和補充材料 313
參考文獻 314
第10章 固體力學要義 315
§48. 材料力學之提綱挈領 315
§49. 彈性力學提法和方程 324
49.1 彈性力學平衡方程 324
49.2 彈性模量獨立分量的個數(shù) 325
49.3 勒讓德-阿達瑪不等式 331
思考題和補充材料 334
參考文獻 338
第11章 流體動力學 340
§50. 從哈維的血液循環(huán)學說到血壓計的發(fā)明 340
§51. 伯努利方程的建立 342
51.1 星光燦爛的伯努利家族 342
51.2 伯努利定律 344
§52. 流體力學勢流問題 350
52.1 勢流的特點 350
52.2 不可壓縮流體的特性與勢流方程 351
52.3 勢流的分析 351
52.4 基本流 352
§53. 流變體與牛頓流體 357
53.1 流變體的定義 357
53.2 牛頓流體 358
53.3 牛頓流體的本構關系 359
§54. 哈根-泊肅葉流動定律 361
§55. 達朗貝爾佯謬 364
55.1 馬略特有關流體阻力的研究 364
55.2