第一部分 一元實變量函數的Lebesgue積分
第0章 集合、映射與關系的預備知識 3
0.1 集合的并與交 3
0.2 集合間的映射 4
0.3 等價關系、選擇公理以及Zorn引理 5
第1章 實數集：集合、序列與函數 7
1.1 域、正性以及完備性公理 7
1.2 自然數與有理數 11
1.3 可數集與不可數集 13
1.4 實數的開集、閉集和Borel集 16
1.5 實數序列 20
1.6 實變量的連續(xù)實值函數 25
第2章 Lebesgue測度 29
2.1 引言 29
2.2 Lebesgue外測度 31
2.3 Lebesgue可測集的代數 34
2.4 Lebesgue可測集的外逼近和內逼近 40
2.5 可數可加性、連續(xù)性以及Borel-Cantelli引理 43
2.6 不可測集 47
2.7 Cantor集和Cantor-Lebesgue函數 49
第3章 Lebesgue可測函數 54
3.1 和、積與復合 54
3.2 序列的逐點極限與簡單逼近 60
3.3 Littlewood的三個原理、Egoroff定理以及Lusin定理 64
第4章 Lebesgue積分 68
4.1 Riemann積分 68
4.2 有限測度集上的有界可測函數的
Lebesgue積分 71
4.3 非負可測函數的Lebesgue積分 79
4.4 一般的Lebesgue積分 85
4.5 積分的可數可加性與連續(xù)性 90
4.6 一致可積性：Vitali收斂定理 92
第5章 Lebesgue積分：深入課題 97
5.1 一致可積性和緊性：一般的Vitali收斂定理 97
5.2 依測度收斂 99
5.3 Riemann可積與Lebesgue可積的刻畫 102
第6章 微分與積分 107
6.1 單調函數的連續(xù)性 108
6.2 單調函數的可微性：Lebesgue定理 109
6.3 有界變差函數：Jordan定理 116
6.4 絕對連續(xù)函數 119
6.5 導數的積分：微分不定積分 124
6.6 凸函數 130
第7章 Lp空間：完備性與逼近 135
7.1 賦范線性空間 135
7.2 Young、H鰈der與Minkowski不等式 139
7.3 Lp是完備的：Riesz-Fischer定理 144
7.4 逼近與可分性 150
第8章 Lp空間：對偶與弱收斂 155
8.1 關于Lp（1≤p＜∞）的對偶的Riesz表示定理 155
8.2 Lp中的弱序列收斂 162
8.3 弱序列緊性 171
8.4 凸泛函的最小化 174
第二部分 抽象空間：度量空間、
拓撲空間、Banach空間
和Hilbert空間
第9章 度量空間：一般性質 183
9.1 度量空間的例子 183
9.2 開集、閉集以及收斂序列 187
9.3 度量空間之間的連續(xù)映射 190
9.4 完備度量空間 193
9.5 緊度量空間 197
9.6 可分度量空間 204
第10章 度量空間：三個基本定理 206
10.1 Arzelà-Ascoli定理 206
10.2 Baire范疇定理 211
10.3 Banach壓縮原理 215
第11章 拓撲空間：一般性質 222
11.1 開集、閉集、基和子基 222
11.2 分離性質 227
11.3 可數性與可分性 228
11.4 拓撲空間之間的連續(xù)映射 230
11.5 緊拓撲空間 233
11.6 連通的拓撲空間 237
第12章 拓撲空間：三個基本定理 239
12.1 Urysohn引理和Tietze延拓定理 239
12.2 Tychonoff乘積定理 244
12.3 Stone-Weierstrass定理 247
第13章 Banach空間之間的連續(xù)線性算子 253
13.1 賦范線性空間 253
13.2 線性算子 256
13.3 緊性喪失：無窮維賦范線性空間 259
13.4 開映射與閉圖像定理 263
13.5 一致有界原理 268
第14章 賦范線性空間的對偶 271
14.1 線性泛函、有界線性泛函以及弱拓撲 271
14.2 Hahn-Banach定理 277
14.3 自反Banach空間與弱序列
收斂性 282
14.4 局部凸拓撲向量空間 286
14.5 凸集的分離與Mazur定理 290
14.6 Krein-Milman定理 295
第15章 重新得到緊性：弱拓撲 298
15.1 Helly定理的Alaoglu推廣 298
15.2 自反性與弱緊性：Kakutani定理 300
15.3 緊性與弱序列緊性：Eberlein-mulian定理 302
15.4 弱拓撲的度量化 305
第16章 Hilbert空間上的連續(xù)線性算子 308
16.1 內積和正交性 309
16.2 對偶空間和弱序列收斂 313
16.3 Bessel不等式與規(guī)范正交基 316
16.4 線性算子的伴隨與對稱性 319
16.5 緊算子 324
16.6 Hilbert-Schmidt定理 326
16.7 Riesz-Schauder定理：Fredholm算子的刻畫 329
第三部分 測度與積分：一般理論
第17章 一般測度空間：性質與構造 337
17.1 測度與可測集 337
17.2 帶號測度：Hahn與Jordan分解 342
17.3 外測度誘導的Carathéodory測度 346
17.4 外測度的構造 349
17.5 將預測度延拓為測度：Carathéodory-Hahn定理 352
第18章 一般測度空間上的積分 359
18.1 可測函數 359
18.2 非負可測函數的積分 365
18.3 一般可測函數的積分 372
18.4 Radon-Nikodym定理 381
18.5 Nikodym度量空間：Vitali-Hahn-Saks定理 388
第19章 一般的Lp空間：完備性、對偶性和弱收斂性 394
19.1 Lp(X, )（1≤p≤∞）的完備性 394
19.2 關于Lp(X, )（1≤p
19.3 關于L∞(X, )的對偶的Kantorovitch表示定理 404
19.4 Lp(X, )（1＜p＜∞）的弱序列緊性 407
19.5 L1(X, )的弱序列緊性：Dunford-Pettis定理 409
第20章 特定測度的構造 414
20.1 乘積測度：Fubini與Tonelli定理 414
20.2 歐氏空間Rn上的Lebesgue測度 424
20.3 累積分布函數與Borel測度 437
20.4 度量空間上的Carathéodory外測度與Hausdorff測度 441
第21章 測度與拓撲 446
21.1 局部緊拓撲空間 447
21.2 集合分離與函數延拓 452
21.3 Radon測度的構造 454
21.4 Cc(X)上的正線性泛函的表示：Riesz-Markov定理 457
21.5 C（X）的對偶的表示：Riesz-Kakutani表示定理 462
21.6 Baire測度的正則性 470
第22章 不變測度 477
22.1 拓撲群：一般線性群 477
22.2 Kakutani不動點定理 480
22.3 緊群上的不變Borel測度：von Neumann定理 485
22.4 測度保持變換與遍歷性：Bogoliubov-Krilov定理 488
參考文獻 495
鄂公網安備 42010302001612號 