初等數(shù)學(xué)解題方法大全

     目 錄
   一、基本邏輯知識(shí)
    （一）什么是邏輯學(xué)
    （二）邏輯思維的基本形式
    1.概念
    （1）什么是概念
    （2）概念的內(nèi)涵和外延
    （3）概念間的關(guān)系
    ①同一關(guān)系
    ②交叉關(guān)系
    ③從屬關(guān)系
    ④矛盾關(guān)系
    ⑤反對(duì)關(guān)系
    （4）概念的限定和概括
    ①概念的限定
    ②概念的概括
    （5）概念的定義
    （6）概念的劃分
    2.判斷
    （1）什么是判斷
    （2）判斷的分類
    （3）數(shù)學(xué)中的判斷
    ①性質(zhì)判斷
    ②關(guān)系判斷
    ③假言判斷
    ④選言判斷
    ⑤聯(lián)言判斷
    ⑥負(fù)判斷
    3.命題
    （1）什么是命題
    （2）命題的結(jié)構(gòu)
    （3）簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題
    ①假言命題
    ②選言命題
    ③聯(lián)言命題
    ④等價(jià)命題
    ⑤否定命題
    （4）命題的四種形式及其關(guān)系
    （5）命題的演算規(guī)則
    （6）命題的條件
    （7）公理、定理、推論
    （8）分?jǐn)嗍矫}
    （9）逆命題的制造
    4.推理
    （1）什么是推理
    （2）演繹推理
    （3）歸納推理
    （4）類比推理
    5.數(shù)學(xué)證明
    （1）什么是證明
    （2）證明的規(guī)則
    （三）邏輯思維的基本規(guī)律
    1.同一律
    2.矛盾律
    3.排中律
    4.充足理由律
   二、怎樣解數(shù)學(xué)題
    （一）解數(shù)學(xué)題的實(shí)質(zhì)
    （二）解題的要求
    1.解答數(shù)學(xué)題要正確合理
    2.解題過(guò)程要符合邏輯
    3.解題方法力求簡(jiǎn)單清楚
    4.解題理由要充分
    5.解題的答案要詳盡無(wú)遺
    6.解題的最后結(jié)果形式要簡(jiǎn)單
    7.注意命題條件與結(jié)論的推廣
    （三）解題步驟
    1.審題
    （1）分析條件，理解題意
    （2）注意題中的常數(shù)
    2. 探求解 題方 法
    （1）區(qū)分習(xí)題類型
    （2）觀察、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化
    ①觀察
    ②聯(lián)想
    ③轉(zhuǎn)化
    3.寫出習(xí)題的解答過(guò)程
    4.檢查答案是否合理
    （1）推理要正確
    （2）檢查答案是否完備、確切
    （3）檢查解答是否合乎要求
    （四）解題后的回憶
    1.解題方法的回憶
    2.錯(cuò)誤分析
   三、解數(shù)學(xué)題的常用方法
    （一）觀察法
    （二）定義法
    （三）分析法
    （四）綜合法
    （五）反證法
    （六）同一法
    （七）數(shù)學(xué)歸納法
    （八）第二數(shù)學(xué)歸納法
    （九）整體法
    （十）配方法
    （十一）換元法
    （十二）待定系數(shù)法
    （十三）參數(shù)法
    （十四）相消法
    （十五）代入法
    （十六）比較法
    （十七）“1”的代換法
    （十八）試探法
    （十九）賦值法
    （二十）構(gòu)造法
    （二十一）三角法
    （二十二）直角坐標(biāo)法
    （二十三）極坐標(biāo)法
    （二十四）復(fù)數(shù)法
   四 各種題型的常用解法
    （一）算術(shù)問(wèn)題的解法
    1.式題的解法
    （1）四則計(jì)算題的計(jì)算方法
    （2）四則混合式題的計(jì)算方法
    ①基本法
    ②簡(jiǎn)算法
    ③約分法
    ④拆數(shù)法
    （3）繁分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)方法
    ①相除法
    ②倍數(shù)法
    ③約分法
    ④逐次減層法
    （4）速算的方法
    ①湊整法
    ②湊同法
    ③基準(zhǔn)數(shù)法
    ④反數(shù)法
    ⑤拆數(shù)法
    ⑥公式法
    （5）驗(yàn)算的方法
    ①正算法
    ②逆算法
    ③棄九法
    2.文字題的解法
    ①直譯法
    ②意譯法
    ③分析法
    ④綜合法
    ⑤縮句法
    ⑥分段法
    ⑦代數(shù)法
    3.應(yīng)用題的解法
    ①綜合法
    ②分析法
    ③圖解法
    ④直接法
    ⑤列舉法
    ⑥追蹤法
    ⑦逆推法
    ⑧消元法
    ⑨假設(shè)法
    ⑩對(duì)應(yīng)法
    ⑾不變量法
    ⑿變換條件法
    ⒀增元法
    ⒁類比法
    ⒂比例法
    ⒃歸一法
    ⒄倍比法
    ⒅歸總法
    （19）公式法
    （20）代數(shù)法
   （二）初等代數(shù)問(wèn)題的解法
    1.代數(shù)式問(wèn)題的解法
    （1）整式的運(yùn)算方法
    ①基本運(yùn)算法
    ②豎式運(yùn)算法
    ③公式法
    ④分離系數(shù)法
    ⑤綜合除法
    ⑥比較系數(shù)法
    ⑦數(shù)值代人法
    （2）因式分解的方法
    ①提取公因式法
    ②公式分解法
    ③分組分解法
    ④十字相乘法
    ⑤求根法
    ⑥配方法
    ⑦余元定理法
    ⑧比較系數(shù)法
    ⑨數(shù)值代入法
    （3）分式的運(yùn)算法
    ①基本運(yùn)算法
    ②比較系數(shù)法
    ③數(shù)值代入法
    ④乘因式法
    （4）根式的運(yùn)算法
    ①有理化因式法
    ②基本運(yùn)算法
    ③公式法
    2.代數(shù)方程與方程組的解法
    （1）有理方程的解法
    ①同解變形法
    ②分解因式法
    ③求根公式法
    ④換元法
    ⑤韋達(dá)定理法
    ⑥配方法
    ⑦余元定理法
    ⑧比較系數(shù)法
    （2）無(wú)理方程的解法
    ①乘方法
    ②觀察法
    ③配方法
    ④因式分解法
    ⑤換元法
    ⑥共軛根式法
    （3）方程組的解法
    ①代入消元法
    ②加減消元法
    ③換元法
    ④韋達(dá)定理法
    ⑤分解因式法
    ⑥行列式法
    3.代數(shù)不等式問(wèn)題的解法
    （1）整式不等式的解法
    ①基本運(yùn)算求解法
    ②配 方法
    ③分解因式法
    （2）分式不等式的解法
    ①運(yùn)算求解法
    ②不等式聯(lián)立法
    ③轉(zhuǎn)化法
    （3）絕對(duì)值不等式的解法
    ①公式法
    ②區(qū)間分析法
    （4）無(wú)理不等式的解法
    ①運(yùn)算求解法
    ②不等式聯(lián)立法
    （5）不等式組的解法
    4.指數(shù)與對(duì)數(shù)問(wèn)題的解法
    （1）冪的運(yùn)算方法
    ①基本運(yùn)算法
    ②代數(shù)公式法
    （2）對(duì)數(shù)的運(yùn)算方法
    ①基本運(yùn)算法
    ②定義法
    ③換底公式法
    （3）指數(shù)方程的解法
    ①比較指數(shù)法
    ②取對(duì)數(shù)法
    ③換元法
    ④分解因式法
    （4）對(duì)數(shù)方程的解法
    ①定義法
    ②換底公式法
    ③比較真數(shù)法
    ④換元法
    5.數(shù)列問(wèn)題的解法
    （1）求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法
    ①觀察分析法
    ②公式法
    ③轉(zhuǎn)化法
    ④歸納法
    （2）求由遞推公式給出的數(shù)列通項(xiàng)的方法
    ①歸納法
    ②作差求和法
    ③配項(xiàng)法
    ④消常數(shù)項(xiàng)法
    ⑤換元法
    ⑥特征方程法
    （3）數(shù)列求和的方法
    ①公式法
    ②轉(zhuǎn)化法
    ③通項(xiàng)公式變形法
    ④和式倒寫相加法
    ⑤和式變倍相減法
    ⑥復(fù)數(shù)法
    6.排列組合問(wèn)題的解法
    （1）排列、組合和式的求值 化簡(jiǎn)及組合恒等式的證明方法
    ①基本公式法
    ②母函數(shù)法
    ③數(shù)學(xué)歸納法
    ④構(gòu)造模型法
    （2）排列組合應(yīng)用題的解法
    ①模型類比法
    ②直接分步法
    ③直接分類法
    ④淘汰法
    ⑤放縮法
    ⑥集合法
    7.函數(shù)問(wèn)題的解法
    （1）求函數(shù)定義域的方法
    （2）求函數(shù)值域的方法
    ①直接法
    ②反函數(shù)法
    ③圖象法
    ④判別式法
    ⑤平均 值不等 式法
    ⑥配方 法
    ⑦二次函數(shù)法
    ⑧換元法
    ⑨導(dǎo)數(shù)法
    　（3）求函數(shù)解析式的方法
    ①待定系數(shù)法
    ②“對(duì)應(yīng)”變形法
    ③過(guò)渡變量法
    ④特殊值法
    ⑤列解方程（組）法
    ⑥數(shù)學(xué)歸納法
    （4）作函數(shù)圖象的方法
    ①描點(diǎn)法
    ②平移法
    ③對(duì)稱法
    ④疊加法
    ⑤絕對(duì)值翻轉(zhuǎn)法
    ⑥導(dǎo)數(shù)法
    8.復(fù)數(shù)問(wèn)題的解法
    （1）復(fù)數(shù)的運(yùn)算方法
    ①直接運(yùn)算法
    ②“1”的代換法
    ③“i”的代換法
    ④“ω”的代換法
    ⑤向量法
    （2）復(fù)數(shù)綜合題的解法
    ①?gòu)?fù)數(shù)相等法
    ②共軛復(fù)數(shù)法
    ③復(fù)數(shù)模的不等式法
    9.代數(shù)證明題的證法
    （1）恒等式的證明方法
    ①一般方法
    ②公式法
    ③代值驗(yàn)證法
    ④待定系數(shù)法
    ⑤數(shù)學(xué)歸納法
    ⑥拆項(xiàng)法
    ⑦母函數(shù)法
    （2）條件等式的證明方法
    ①綜合法
    ②分析法
    ③代人法
    ④變換法
    ⑤（代數(shù)）消元法
    ⑥換元法
    ⑦數(shù)學(xué)歸納法
    （3）不等式的證明方法
    ①比較法
    ②綜合法
    ③分析法
    ④拆項(xiàng)法
    ⑤放縮法
    ⑥數(shù)學(xué)歸納法
    ⑦反證法
    ⑧換元法
    ⑨輔助式法
    ⑩配方法
    ⑾判別式法
    ⑿導(dǎo)數(shù)法
    ⒀構(gòu)造法
    ⒁重要不等式法
   （三）平面幾何問(wèn)題的解法
    1.證明題的證法
    （1）普通問(wèn)題的證明方法
    ①綜合法
    ②分析法
    ③反證法
    ④同一法
    ⑤枚舉歸納法
    ⑥數(shù)學(xué)歸納法
    ⑦疊置法
    ⑧拼合法
    ⑨分解法
    ⑩擴(kuò)充法
    ⑾對(duì)稱變換法
    ⑿平移變換法
    ⒀旋轉(zhuǎn)變換法
    ⒁面積法
    ⒂射影法
    ⒃變更問(wèn)題法
    ⒄計(jì)算法
    ⒅解析法
    (19)復(fù)數(shù)法
    (20)三角法
    (21)極坐標(biāo)法
    （22)四點(diǎn)共圓法
    （23）構(gòu)圖法
    （24）傳遞法
    （25）全等三角形法
    （26）等腰三角形法
    （27）平行四邊形法
    （28）相似三角形法
    （29）三角形中位線法
    （30）定值問(wèn)題的證明方法
    ①特殊位置探求法
    ②計(jì)算探求法
    （3）極值問(wèn)題的證明方法
    ①三角形法
    ②極值定理法
    ③代數(shù)法
    ④三角法
    2.作圖題的作法
    ①交軌法
    ②三角形奠基法
    ③平移法
    ④對(duì)稱法
    ⑤旋轉(zhuǎn)法
    ⑥放縮法
    ⑦延長(zhǎng)線法
    ⑧角弧法
    ⑨游移切線法
    ⑩輔助圓法
    ⑾面積割補(bǔ)法
    ⑿比例線段法
    ⒀代數(shù)法
    ⒁變更問(wèn)題法
    ⒂逆序法
    ⒃伸縮進(jìn)退法
    3.計(jì)算題的解法
    ①公式法
    ②等量替換法
    ③列解方程法
    ④比例線段法
    ⑤三角法
    ⑥解析法
    ⑦面積割補(bǔ)法
   （四）平面三角問(wèn)題的解法
    1.三角函數(shù)的計(jì)算方法
    ①定義法
    ②公式法
    ③代入法
    ④綜合法
    ⑤“1”的代換法
    ⑥平方公式法
    ⑦賦值法
    ⑧構(gòu)造法
    2.三角等式的證明方法
    ①定義法
    ②分析法
    ③綜合法
    ④相消法
    ⑤數(shù)學(xué)歸納法
    ⑥化為兩弦法
    ⑦“1”的代換法
    ⑧降冪法
    ⑨比較法
    ⑽反三角運(yùn)算法
    ⑾復(fù)數(shù)法
    ⑿邊角互換法
    ⒀直推法
    ⒁代入法
    ⒂消元法
    ⒃換元法
    ⒄構(gòu)造法
    3.三角不等式的證明方法
    ①比較法
    ②單位圓法
    ③萬(wàn)能代換法
    ④極值法
    ⑤公式法
    ⑥構(gòu)造方程法
    ⑦構(gòu)造圖形法
    ⑧反證法
    ⑨數(shù)學(xué)歸納法
    4.三角作圖題的作法
    ①描點(diǎn)法
    ②幾何法
    ③變換法
    5.三角方程的解法
    ①變量代換法
    ②因式分解法
    ③引用輔助角法
    ④萬(wàn)能置換法
    ⑤化為兩弦法
    ⑥消元法
    ⑦相除法
    ⑧取三角函數(shù)法
   （五）立體幾何問(wèn)題的解法
    1.計(jì)算題的解法
    ①定義法
    ②計(jì)算法
    ③判別式法
    ④體積法
    ⑤割補(bǔ)法
    ⑥三角法
    ⑦窮舉尋徑法
    2.證明題的證法
    ①定義法
    ②分析法
    ③綜合法
    ④反證法
    ⑤體積法
    ⑥構(gòu)造法
    ⑦三角法
    ⑧參數(shù)法
   （六）平面解析幾何問(wèn)題的解法
    1.求曲線方程的方法
    ①定義法
    ②直譯法
    ③待定系數(shù)法
    ④平面幾何法
    ⑤轉(zhuǎn)移法
    ⑥交軌法
    ⑦參數(shù)法
    ⑧極坐標(biāo)法
    ⑨復(fù)數(shù)法
    ⑩韋達(dá)定理法
    ⑾消去法
    2.作圖題的作法
    ①描點(diǎn)法
    ②簡(jiǎn)便描點(diǎn)法
    ③平方法
    ④分段討論法
    ⑤移軸法
    3.計(jì)算題的解法
    ①基本公式法
    ②定義法
    ③判別式法
    ④解方程組法
    ⑤配方法
    ⑥三角法
    ⑦韋達(dá)定理法
    ⑧平面幾何法
    ⑨不等式法
    ⑩復(fù)數(shù)法
    4.證明題的證法
    ①基本公式法
    ②定義法
    ③權(quán)幾何法
    ④參數(shù)法
    ⑤極坐標(biāo)法
    ⑥三角法
    ⑦曲線系法
    ⑧集項(xiàng)法
    　 ⑨列解方程組法
    ?、忭f達(dá)定理法
   （七）集合問(wèn)題的解法
    1.集合的表示法
    ①字母表示法
    ②列舉法
    ③特性表示法
    ④文氏圖表示法
    ⑤函數(shù)圖象表示法
    2.集合的運(yùn)算與集合等式的證明方法
    ①定義法
    ②公式法
    ③文氏圖法
    ④函數(shù)圖象法
   （八） 初等微積分問(wèn)題的解法
    1.求極限問(wèn)題的解法
    ①四則運(yùn)算法
    ②函數(shù)值法
    ③兩個(gè)重要函數(shù)極限公式法
    ④無(wú)窮小分離法
    ⑤有理化法
    ⑥約分——通分法
    ⑦無(wú)窮小性質(zhì)法
    ⑧三角公式法
    ⑨換元法
    ⑩等價(jià)無(wú)窮小法
    ⑾夾擠法
    ⑿實(shí)數(shù)連續(xù)性公理法
    ⒀雙側(cè)極限法
    ⒁微 分中值公式法
    ⒂定積分法
    ⒃積分中值公式法
    ⒄斯篤茲定理法
    ⒅洛比達(dá)法則法
    ⒆泰勒公式法
    2.求導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的解法
    ①定義法
    ②直接求導(dǎo)法
    ③逐層求導(dǎo)法
    ④對(duì)數(shù)恒等式法
    ⑤兩邊取對(duì)數(shù)法
    ⑥隱函數(shù)求導(dǎo)法
    ⑦參數(shù)方程法
    ⑧萊布尼茲法
    3.求不定積分問(wèn)題的解法
    ①直接積分法
    ②第一換元法（“湊微分”法）
    ③第二換元法
    ④分部積分法
    ⑤遞推公式法
    ⑥分項(xiàng)分式法
    ⑦配方添項(xiàng)湊微法
    ⑧歐拉代換法
    ⑨萬(wàn)能代換法
    ⑩多次代換法
    ⑾積分表法
    4.求定積分問(wèn)題的解法
    ①定義法
    ②基本公式法
    ③換元法
    ④分部積分法
    ⑤函數(shù)奇偶性質(zhì)法
    5.證明題的證法·
    ①定義法
    ②反證法
    ③微分中值定理法
    ④積分中值定理法
    ⑤換元法
    ⑥保號(hào)性定理法
   （九）邏輯代數(shù)問(wèn)題的解法
    1.二進(jìn)制數(shù)的計(jì)算方法
    2.二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的互化方法
    ①二除取余法
    ②二乘取整法
    3.邏輯式的運(yùn)算方法
    ①真值表法
    ②公式法
    ③對(duì)偶法
    ④反演法
    4.邏輯等式的證明方法
    ①真值表法
    ②部分真值代入法
    ③公式法
    ④對(duì)偶法
    ⑤反證法
   （十）概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的解法
    1. 復(fù)雜事 件的 分解 法
    ①直譯法
    ②分步分解法
    ③等價(jià)事件法
    ④兩次求逆法
    2.概率的計(jì)算方法
    ①古典定義法
    ②公式法
    ③二項(xiàng)概率法
    ④概率分布法
    ⑤切比雪夫不等式法
    ⑥極限定理法
    3.隨機(jī)變量的分布問(wèn)題的解法
    （1）分布函數(shù)、分布列及分布密度的判定方法
    （2）分布函數(shù)、分布列及分布密度中所含待定常數(shù)的確定方法
    （3）求離散型隨機(jī)變量的概率分布的方法
    ①古典概型法
    ②直接法
    ③輔助事件法
    （4）分布列或分布密度與分布函數(shù)的互求方法
    ①累加法
    ②鄰值相減法
    ③求積法
    ④求導(dǎo)法
    （5）求隨機(jī)變量函數(shù)的分布的方法
    ①等價(jià)事件法
    ②分布函數(shù)法
    4.求隨機(jī)變量的期望與方差的方法
    （1）求隨機(jī)變量的期望的方法
    ①定義法
    ②典型分布法
    ③函數(shù)期望公式法
    ④運(yùn)算性質(zhì)法
    ⑤構(gòu)造法
    （2）求隨機(jī)變量的方差的方法
    ①定義法
    ②簡(jiǎn)便公式法
    ③典型分布法
    ④運(yùn)算性質(zhì)法
    ⑤構(gòu)造法
    5.參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的解法
    （1）期望與方差的點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題的解法
    ①順序統(tǒng)計(jì)量法
    ②矩估計(jì)法
    ③極大似然估計(jì)法
    （2）估計(jì)量?jī)?yōu)良性的判斷方法
    （3）期望與方差的區(qū)間估計(jì)方法
    ①u估計(jì)法
    ②t估計(jì)法
    ③x2估計(jì)法
    6.假設(shè)檢驗(yàn)的方法
    ①u－檢驗(yàn)法
    ②t－檢驗(yàn)法
    ③x2－檢驗(yàn)法
    7.回歸分析方法
    ①最小二乘法
    ②F－檢驗(yàn)法
    ③t－估計(jì)法
    ④預(yù)報(bào)限反求法
   （十一）初等數(shù)論問(wèn)題的解法
    1.基礎(chǔ)問(wèn)題的解法
    （1）倍數(shù)判別問(wèn)題的解法
    ①數(shù)字和法
    ②末位數(shù)字法
    ③末兩位數(shù)法
    ④隔位法
    ⑤三位一組求和法
    ⑥三位一組求差法
    ⑦商數(shù)余數(shù)相加法
    （2）質(zhì)數(shù)判別問(wèn)題的解法
    ①試除法
    ②篩法
    （3）因數(shù)分解的方法
    （4）最大公因數(shù)的求法
    ①因數(shù)分解法
    ②輾轉(zhuǎn)相除法
    （5）最小公倍數(shù)的求法
    ①因數(shù)分解法
    ②最大公因數(shù)法
    2.簡(jiǎn)單問(wèn)題的解法
    ①因數(shù)分解法
    ②奇數(shù)偶數(shù)分類法
    ③剩余類分類法
    ④因式分解法
    ⑤二項(xiàng)式定理法
    ⑥數(shù)字法
    ⑦數(shù)學(xué)歸納法
    ⑧反證法
    ⑨抽屜法
    3.綜合問(wèn)題的解法
    ①因數(shù)分解法
    ②逐個(gè)檢查法
    ③公倍數(shù)法
    ④奇數(shù)偶數(shù)分類法
    ⑤剩余類分類法
    ⑥反證法
    ⑦解不定方程法
    ⑧抽屜法
   （十二）標(biāo)準(zhǔn)化試題的解法
    ①直接法
    ②篩選法
    ③圖象法
    ④特殊值法
    ⑤反推法
   附：本書主要參考文獻(xiàn)