小波與小波變換導論：英文版

　　本書闡述了如何在信息處理、數(shù)值分析和數(shù)學建模中使用小波作為分析工具。本書把信號展開為基和框架，利用濾波器組作為算法描述。這種統(tǒng)一的觀點填補了現(xiàn)有小波文獻中的不足。本書給出經(jīng)典信息處理問題的最新以點，特別強調(diào)從應用角度出發(fā)的信號壓縮，涉及當前研究的最新成果。本書可作為高年級本科生和研究生的教材，適用于信息處理、無線電通信、計算機科學和應用數(shù)學等專業(yè)，也適于從事相關領域的研究人員和從業(yè)人員閱讀。本書前言本書詳盡地討論小波隱含的思想與小波的性質，并說明如何將小波作為信號處理、數(shù)值分析和數(shù)學建模的分析工具。我們力求采用工程師、科學工作者和應用數(shù)學研究人員都容易接受的一種方式來闡述，既作為一種理論步驟，也作為一種可能的解決問題的實用方法。雖然這門學科的起源可以上溯到較早的年代，但重新引起人們的興趣并且有所進展僅有幾年的光景。小波方面早期的研究工作是由Morlet、Grossmann、Meyer、Mallat以及其他一些人在20世紀80年代完成的，但是1988年IngridDaubechies[Dau88a]的論文才在信號處理、統(tǒng)計學和數(shù)值分析等多個應用數(shù)學界引起更多人的注意。許多早期工作是在法國[CGT89，Mey92a]和美國[Dau88a，RBC*92，Dau92，RV91]開展的。與很多新興學科一樣，開創(chuàng)工作同特定的應用或傳統(tǒng)的理論框架有著緊密的聯(lián)系。本書中，我們將考察從應用中抽象和從研究中發(fā)展出來的理論，并且討論這種理論同其他相關思想的關系。我們自己在信號處理方面的興趣和背景無疑會影響本書的闡述方式。小波研究的最新目標是創(chuàng)建一組基本函數(shù)（或通稱為展開函數(shù)）和變換，用以對某個函數(shù)或信號給出豐富的、有效的和有用的描述。如果信號被表示成時間的函數(shù)，小波則在時間和頻率（或尺度）兩方面提供很有用的局部化。另外一個中心思想是多分辨，其中信號是通過細節(jié)的分辨而分解的。對于傅里葉級數(shù)，選擇正弦函數(shù)作為基本函數(shù)，然后考察所得展開式的性質。對于小波分析，人們先提出欲求的性質，然后推導出基本函數(shù)。小波的基本函數(shù)所具備的一個重要性質就是能夠提供多分辨分析。出于多種原因，通常要求基本函數(shù)是正交的。在這些目標之下，你將會見到若干相關的技術，包括傅里葉變換、快速傅里葉變換、離散傅里葉變換、Wigner分布、濾波器組、子帶編碼以及由此產(chǎn)生的其他信號展開式和信號處理方法。對于數(shù)學研究人員、科學工作者和工程師而言，基于小波的分析是新出現(xiàn)的一種令人興奮的問題求解工具。它天生就能與數(shù)字計算機配合，因為其基本函數(shù)是由求和而不是求積和求導定義的。與大多數(shù)傳統(tǒng)的展開式系統(tǒng)不同，小波分析的基本函數(shù)不是微分方程的解。就很多方面而言，它是我們多年來第一個真正意義上的新工具。事實上，使用小波和小波變換時，需要采用一種新觀點和新方法來解釋我們?nèi)匀辉趯W習如何利用的表達形式。新近由Donoho、Johnstone、Coifman及其他人進行的研究，為小波分析為何有如此廣泛的應用和如此強大的功能增添了理論依據(jù)，并且對仍在進行的工作進行了概括。他們證明了小波系統(tǒng)有著某些固有的普適優(yōu)勢，而且對于一類廣泛的問題而言是接近最優(yōu)的[Don93b]。他們同時證明自適應工具可用于創(chuàng)建特殊信號和信號類的特定小波系統(tǒng)。多分辨分解看起來是一種分離信號成分的方法，它比分析、處理和壓縮信號的其他方法更為優(yōu)越。由于離散小波變換能夠在不同的獨立尺度分解信號，而且非常靈活，所以Burke把小波稱為“數(shù)學顯微鏡”[Bur94，Hub96]。正是因為這種強有力的和靈活的分解，在小波變換領域內(nèi)，對信號的線性和非線性處理為信號的檢測、濾波和壓縮提供了各種新方法[Don93b，Don95，Don93a，Sai94b，WTWB97，Guo97]。同時這可以用來作為健壯數(shù)值算法的基礎。讀者也會看到這與數(shù)字信號處理的濾波器組理論之間有一種有趣的聯(lián)系和等價性[Vai92，AH92]。其實，用濾波器組獲得的某些結果與用離散時間小波所得結果相同，而且這在信號處理界已由Vetterli、Vaidyanathan、Smith、Barnwell和其他人研究得到。濾波器組以及計算小波變換的大多數(shù)算法，是更為一般的多頻率系統(tǒng)和時變系統(tǒng)的組成部分。對于那些具有一定技術背景但對小波知之甚少或者全然不知的人而言，本書可作為一本入門書或自學輔導教材。假定讀者具備傅里葉級數(shù)和傅里葉變換、線性代數(shù)和矩陣論的知識，同時假定讀者達到工學、理學或應用數(shù)學學士的同等技術水平。掌握一定的信號處理知識對閱讀本書很有幫助，但并非是必需的。我們提出用實時變函數(shù)或復時變函數(shù)模擬一維信號的思想，但這樣的思想以及方法在二維、三維甚至四維的圖像表示和圖像處理中被證明也是有效的[SA92，Mal89a]。向量空間已證明是研究小波理論與應用的天然工具。具有這個領域的某些背景知識是有益的，不過也可以在需要的時候補習。用某種小波軟件系統(tǒng)運行實例和進行實驗是大有裨益的。書后附有MATLAB庫函數(shù)的程序，這些程序在我們的網(wǎng)站（在本前言后面提及）上也能找到。其他幾種軟件系統(tǒng)在第10章介紹。介紹小波理論有幾種不同的方式。我們選用連續(xù)時間信號或函數(shù)為級數(shù)展開式，同傅里葉分析中所用的傅里葉級數(shù)非常相似。我們從這種表達形式可以轉到一種離散變量（如某種信號的樣本）函數(shù)的展開式和濾波器組理論，以此有效地計算與解釋展開式系數(shù)。這種情況類似于離散傅里葉變換（DFT）及其有效實現(xiàn)快速傅里葉變換（FFT）。我們也可以從級數(shù)展開式獲得稱為連續(xù)小波變換的積分變換，這同傅里葉變換或傅里葉積分相似。我們感到，從級數(shù)展開式出發(fā)可以充分領悟小波理論，而且很容易看清小波分析與傅里葉分析之間的異同。本書分為若干相對自成一體的章節(jié)。前面幾章對離散小波變換（DWT，這種變換把信號展開為小波和尺度函數(shù)的級數(shù)）進行了非常全面的討論。后面幾章簡述離散小波變換的推廣及其應用。各章均引用了許多其他著作，可以作為一種有注解的參考文獻。由于本書旨在作為小波變換的導論，而在這個領域已經(jīng)積累了大量的文獻，所以我們在書后附上一個很長的文獻目錄。但是這個目錄很快就會變成不完備的，因為有大量不斷發(fā)表的論文。無論如何，對于作為導論這一目標而言，提供一個文獻指南是非常重要的。新近由美國科學院出版的一本書，書中由BarbaraBurke撰寫的一章[Bur94]對小波分析原理及其發(fā)展的歷史作了很好的概述。Burke還寫了此章的精彩擴充版本[Hub96]，這是任何對小波理論感興趣的人應該閱讀的。Daubechies在[Dau96]中對早期研究工作的歷史有簡要的介紹。本書提出的很多結果和關系，是以定理和證明或以推導的形式闡述的。我們把重點放在定理陳述的正確性方面，而對定理的證明往往只給出推導的輪廓，其目的在于了解實質而非形式證明。事實上，為了不致使闡述凌亂，我們把很多證明放在附錄中。但愿這種方式有助于讀者深入理解信號處理中這個非常有趣但有時又顯得含糊不清的新教學工具。我們在書中采用的記號兼有信號處理文獻和數(shù)學文獻所用的記號，這樣做是希望闡述思想與結果更易于理解，但是這會喪失某些一致性和清晰性。作者對AFOSR、ARPA、NSF、Nortel公司、德州儀器公司和Aware公司所提供的支持表示感謝。我們特別要感謝H.L.Resnikoff，是他首次把我們領入小波領域，而他又準確地預見到我們的能力并會取得成功。我們也感謝W.M.Lawton、小R.O.Wells、R.G.Baraniuk、J.E.Odegard、I.W.Selesnick、M.Lang、J.Tian和萊斯大學計算數(shù)學實驗室的各位成員，本書中介紹的很多思想與結果是他們提出的。第一署名作者感謝家人Maxfield和Oshman的無私支持。萊斯大學EE-531和EE-696班的學生們提供了極有價值的反饋，他們是：BruceFrancis、StrelaVasily、HansSchüssler、PetterSteffen、GarySitton、JimLewis、YvesAngel、CurtMichel、J.H.Husoy、KjerstiEngan、KenCastleman、JeffTrinkle、KatherineJones，與此有關的還有萊斯大學和其他地方的同事。我們還要特別感謝TomRobbins及其PrenticeHall的同事們的支持與幫助，他們的評審意見使本書的內(nèi)容大為充實。我們將樂于知道任何讀者發(fā)現(xiàn)的本書中的任何錯誤或使人誤解的論述。我們真誠歡迎對本書提出的任何改進意見。各種建議和評論可用電子郵件發(fā)至csb@rice.edu。涉及本書的軟件、文章、勘誤以及有關萊斯大學小波研究工作的其他信息，可以從網(wǎng)http：//www-dsp.rice.edu/和鏈接到正在展開小波研究的其他網(wǎng)站上找到。

　　C.西德尼·伯羅斯，1965年在斯坦福大學獲得博士學位。于1984-1992年擔任萊斯大學ECE系的主任，1992-1998年擔任CITI的理事。目前他是萊斯大學教授，并擔任喬治布朗工學院院長。他在萊斯大學從事了20多年數(shù)學信號處理方面的教學和研究工作。拉米什A.戈皮那思，分別于1990年和1992年在萊斯大學獲得碩士學位和博士學位。郭海濤，分別于1995和1997年在萊斯大學獲得碩士學位和博士學位。