有限元方法的數(shù)學基礎

引論
第1章變分原理
1.1可微二次凸泛函的極小化問題
1.2不可微凸泛函的極小化問題
1.3多元函數(shù)微分學
第2章Sobolev空間
2.1Lebesgue積分
2.2廣義(弱)導數(shù)
2.3Sobolev空間
2.4嵌入定理
2.5跡定理
2.6Sobolev空間中的Green公式
2.7等價模定理
第3章橢圓邊值問題
3.1二階橢圓型方程邊值問題
3.2線彈性邊值問題
3.3變分不等式
3.4階橢圓邊值問題
第4章有限元離散
4.1有限元離散的基本特性
4.2三角形單元
4.2.1三角形上一次元
4.2.2三角形上高次元
4.3矩形單元
4.3.1雙線性矩形單元
4.3.2雙二次矩形單元
4.4四階問題的協(xié)調有限單元
4.4.1Argyris三角形元
4.4.2Bell三角形元
4.4.3Hsich-Clough-Tocher(HCT)三角形元
4.5記號及一般概念
第5章協(xié)調有限元方法的誤差分析
5.1收斂性的一般考慮
5.2Sobolev空間中的分片多項式插值
5.2.1仿射等價有限元之間的Sobolev半范數(shù)的關系
5.2.2單元上插值誤差估計
5.3多邊形區(qū)域上二階問題的有限元誤差
5.3.1誤差估計
5.3.2低模估計
5.3.3非光滑解的收斂性
5.4有限元空間中的反不等式
5.4.1單元上的反不等式
5.4.2反不等式
5.5有限元方法的非整數(shù)階誤差估計
5.5.1Banach空間的內插理論
5.5.2Sobolev空間中的內插
5.5.3有限元方法分數(shù)階誤差估計
5,6非光滑函數(shù)的插值(Clement插值)
5.6.1有限元空間
5.6.2Clement插值
5.6.3定理的證明
第6章數(shù)值積分影響,等參數(shù)有限元
6.1有限元方法中的數(shù)值積分
6.1.1三角形上一次精度求積公式
6.1.22次精度求積公式
6.1.33次精度的求積公式
6.1.4帶導數(shù)的3次求積公式
6.1.5矩形單元上的數(shù)值積分
6.2數(shù)值積分下的抽象誤差估計
6.3相容誤差估計
6.4曲邊區(qū)域的有限元逼近
6.4.1仿射等價有限元逼近
6.4.2等參有限元方法
6.5等參數(shù)有限元
6.6等參元的插值誤差
6.7等參元的誤差估計
第7章非協(xié)調有限元
7.1抽象誤差估計
7.2二階問題的非協(xié)調元
7.2.1Crouzeix-Raviart三角形元
7.2.2Wilson矩形元
7.3四階問題的非協(xié)調元
7.4平面彈性問題的有限元方法及閉鎖問題
7.4.1閉鎖現(xiàn)象
7.4.2無閉鎖有限元方法
第8章混合有限元法
8.1混合變分形式
8.2Babuska-Brezzi理論
8.2.1Babuska理論
8.2.2inf-sup條件
8.2.3Brezzi理論
8.2.4Fortin準則
8.3二階橢圓問題的混合有限元方法
8.3.1混合變分形式解的存在唯一性
8.3.2混合有限元離散
8.4Stokes問題的混合有限元方法
8.4.1混合變分形式的存在唯一性
8.4.2混合有限元離散
8.4.3非協(xié)調混合有限元離散
第9章多重網格法
9.1多重網格法的思想
9.1.1剛度矩陣的條件數(shù)
9.1.2經典迭代法的缺陷
9.1.3多重網格格式
9.2W循環(huán)多重網格法的收斂性
9.2.1網格相關范
9.2.2逼近性
9.2.3光滑性
9.2.4收斂性
9.3V循環(huán)多重網格法的收斂性
9.3.1殘量的算子表示
9.3.2光滑性
9.3.3收斂性
9.4套迭代及其工作量的估計
9.5瀑布型多重網格法
第10章多水平方法
10.1分層基方法
10.1.1有限元空間的多水平分裂
10.1.2一些基本結果
10.1.3強Caucby-Schwarz不等式
10.1.4分層基剛度矩陣的條件數(shù)
10.2BPX多水平方法
10.2.1L2投影的一些性質
10.2.2BPX多水平預條件子
10.2.3BPX預條件子B的矩陣形式
第11章區(qū)域分解法
11.1經典Schwarz交替法
11.2兩水平加性Schwarz方法
11.3非重疊型Schwarz方法
11.4D-N交替法
11.4.1Steklov-Poincare算子
11.4.2D-N交替法
11.4.3有限元離散
11.4.4矩陣形式
11.5子結構方法
11.5.1方法的描述
11.5.2定理11.5.1的證明
參考文獻