高等幾何

第一章變換群與幾何學(xué)
§1變換與變換群
1.1映射與變換
1.2映射的乘積與逆
1.3變換的不動元素與不動子集
1.4變換群
習(xí)題
§2仿射坐標(biāo)和仿射平面
2.1仿射坐標(biāo)和仿射坐標(biāo)變換
2.2在仿射平面上的幾個常用結(jié)論
2.3仿射平面A的定義
習(xí)題
§3仿射變換
3.1透視仿射變換
3.2仿射變換的定義與基本性質(zhì)
3.3仿射變換的表達(dá)式和例子
3.4關(guān)于仿射變換的幾個重要定理
習(xí)題
§4歐氏平面和保距變換
4.1歐氏平面正E2的定義
4.2保距變換的定義和表達(dá)式
4.3保距變換的直觀實(shí)現(xiàn)
4.4保距變換的性質(zhì)
習(xí)題
§5幾何學(xué)與變換群的關(guān)系
5.1歐氏幾何與歐氏群
5.2克萊因觀點(diǎn)介紹
5.3仿射群與仿射幾何
習(xí)題
第二章射影平面
§1擴(kuò)大仿射平面
1.1中心射影的直觀討論
1.2點(diǎn)的齊次仿射坐標(biāo)
1.3直線的齊次仿射坐標(biāo)方程
習(xí)題
§2射影平面
2.1射影平面和它的性質(zhì)
2.2射影平面P2的定義和它的模型
2.3射影坐標(biāo)和射影坐標(biāo)變換
2.4直線與點(diǎn)列一維射影坐標(biāo)
2.5德薩格定理
習(xí)題
§3交比與調(diào)和共軛
3.1在擴(kuò)大歐氏平面上的直觀討論
3.2交比的定義和計算
3.3交比與射影坐標(biāo)的關(guān)系
3.4交比的分組
3.5調(diào)和共軛
3.6完全四點(diǎn)形的調(diào)和性質(zhì)
習(xí)題
§4對偶原理
4.1點(diǎn)坐標(biāo)與線坐標(biāo)
4.2對偶原理
4.3幾種重要的對偶圖形和命題
習(xí)題
第三章射影變換
§1一維射影變換
1.1透視對應(yīng)
1.2一維基本形之間的射影對應(yīng)
1.3射影對應(yīng)與透視的關(guān)系
1.4一維射影變換
1.5對合
習(xí)題
§2直射變換
2.1直射變換的定義和表達(dá)式
2.2射影群和基本射影性質(zhì)
2.3關(guān)于直射的基本定理
2.4直射變換的不動元素
2.5同調(diào)與直移
習(xí)題
§3對射變換與配極
3.1對射變換
3.2配極變換
3.3共軛元素與配極原則
3.4配極的分類與自極三點(diǎn)形
3.5配極誘導(dǎo)的對合
習(xí)題
第四章二次曲線的射影理論
§1配極變換與二次曲線
1.1二階曲線與二級曲線
1.2極點(diǎn)與極線二次曲線
1.3二次曲線方程的簡化形式
習(xí)題
§2一維射影對應(yīng)與二次曲線
2.1二次曲線的射影定義
2.2帕斯卡定理與布利安香定理
習(xí)題
63二次曲線上的射影變換
3.1二階曲線上的射影變換
3.2二階曲線上的對合
習(xí)題
§4二次曲線的射影分類
4.1退化二階曲線和奇異點(diǎn)
4.2二次曲線的射影分類
習(xí)題
第五章射影幾何的子幾何
§1無窮遠(yuǎn)直線與仿射幾何
1.1擴(kuò)大仿射平面和仿射變換
1.2仿射性質(zhì)
1.3二次曲線的仿射理論
習(xí)題
§2圓環(huán)點(diǎn)與歐氏幾何
2.1虛元素復(fù)射影平面
2.2絕對對合與直角坐標(biāo)
2.3保距變換與歐氏度量
2.4二次曲線的度量性質(zhì)
習(xí)題
§3實(shí)二次曲線與雙曲幾何
3.1自同構(gòu)群與射影測度
3.2第五公設(shè)與羅巴切夫斯基幾何的產(chǎn)生
3.3實(shí)二次曲線與雙曲運(yùn)動群
3.4雙曲度量
3.5羅巴切夫斯基幾何的克萊因模型
習(xí)題
§4射影幾何的其他子幾何
4.1虛二次曲線和橢圓幾何
4.2伽利略幾何簡介
4.3閔科夫斯基幾何簡介
習(xí)題
第六章幾何基礎(chǔ)介紹
§1公理法簡介
1.1公理法的產(chǎn)生
1.2公理法的結(jié)構(gòu)
1.3公理系統(tǒng)的和諧性.獨(dú)立性和完備性
§2歐氏平面幾何的公理系統(tǒng)
2.1絕對幾何
2.2歐氏幾何與非歐幾何
習(xí)題
§3平面射影幾何的公理系統(tǒng)
3.1平面射影幾何的一個公理系統(tǒng)
3.2平面射影幾何公理系統(tǒng)的算術(shù)模型
習(xí)題
§4有限幾何介紹
4.1有限域GF(q)與有限射影平面PG(2,q)
4.2有限射影平面PG(2,2)介紹
4.3有限仿射平面AG(2,2)介紹
§5射影幾何的歷史概述
5.1射影幾何的萌芽時期
5.2射影幾何創(chuàng)立初期
5.3射影幾何的形成和繁榮時期
5.4射影幾何在中國
第七章高等幾何與中學(xué)幾何
§1高等幾何對中學(xué)幾何的一般指導(dǎo)意義
1.1幾何學(xué)的對象和分類
1.2對坐標(biāo)系的認(rèn)識
1.3關(guān)于直線形
1.4關(guān)于二次曲線理論
1.5綜合法與解析法
討論題
§2中學(xué)幾何命題的發(fā)現(xiàn)
2.1從已知射影命題設(shè)計出初等命題
2.2變換已知命題,得出新命題
習(xí)題
§3用高等幾何方法證明中學(xué)幾何題
3.1仿射變換的應(yīng)用
3.2射影變換的應(yīng)用
3.3關(guān)于點(diǎn)線結(jié)合命題的證明
習(xí)題
§4直尺作圖
4.1利用完全四點(diǎn)形的調(diào)和性質(zhì)作圖
4.2有關(guān)不可到達(dá)的點(diǎn)和直線的作圖
4.3有關(guān)二次曲線的作圖
習(xí)題
參考書目