微分幾何

第一章曲線論
§1*向量代數(shù)復習
§2向量函數(shù)
2.1向量函數(shù)的極限
2.2向量函數(shù)的連續(xù)性
2.3向量函數(shù)的微商
2.4向量函數(shù)的泰勒(Taylor)公式
2.5向量函數(shù)的積分
§3曲線的概念
3.1曲線的概念
3.2光滑曲線曲線的正常點
a.3曲線的切線和法面
3.4曲線的弧長自然參數(shù)
§4空間曲線
4.1空間曲線的密切平面
4.2空間曲線助基本三梭形
4.3空間曲線的曲率,撓串和伏雷內(Frenet)公式
4.4空間曲線在一點鄰近的結構
4.5空間曲線論的基本定理
§5特殊曲線
5.1平面曲線
5.2一般螺線
5.3*貝特朗(Bertrand)曲線
第二章曲面論
§1曲面的概念
1.1簡單曲面及其參數(shù)表示
1.2光滑曲面曲面的切平面和法線
1.3曲面上的曲線族和曲線網
§2曲面的第一基本形式
2.1曲面的第一基本形式曲面上曲線的弧長
2.2曲面上兩方向的交角
2.3正交曲線族和正交軌線
2.4曲面域的面積
2.5等距變換
2.6保角變換
§3曲面的第二基本形式
3.1曲面的第二基本形式
3.2曲面上曲線的曲率
3.3杜邦(Dupin)指標線
3.4曲面的漸近方向和共軛方向
3.5曲面的主方向和曲率線
3.6曲面的主曲率.高斯(Gauss)曲率和平均曲串
3.7曲面在一點鄰近的結構
3.8高斯曲率的幾何意義
§4直紋面和可展曲面
4.1直紋面
4.2可展曲面
§5曲面論的基本定理
5.1曲面的基本方程和克里斯托斐耳(Christoffel)符號
5.2曲面的黎曼(Riemann)曲率張量和高斯-科達齊-邁因納爾迪(Gauss-Codazzi-Mainardi)公式
5.3曲面論的基本定理
§6曲面上的測地線
6.1曲面上曲線的測地曲率
6.2曲面上的測地線
6.3曲面上的半測地坐標網
6.4曲面上測地線的短程性
6.5高斯-波涅(Gauss-Bonnet)公式
6.6曲面上向量的平行移動
6.7*極小曲面
§7常高斯曲率的曲面
7.1常高斯曲串的曲面
7.2偽球面
7.3羅氏幾何
第三章外微分形式和活動標架
§1外微分形式
1.1格拉斯曼(Grassmann)代數(shù)
1.2外微分形式
1.3弗羅皮尼斯(Frobenius)定理
§2活動標架
2.1合同變換群
2.2活動標架
2.3活動標架法
§3用活動標架法研究曲面
3.1曲面論的基本定理
3.2曲面的第一和第二基本形式
3.3曲面上的曲線法曲率測地曲率和測地撓率
3.4曲面的主曲率歐拉公式高斯曲率和平均曲率
3.5曲面上向量的平行移動
3.6閉曲面高斯-波涅公式
第四章整體微分幾何初步
§1平面曲線的整體性質
1.1旋轉數(shù)
1.2凸曲線
1.3等周不等式
1.4四頂點定理
1.5等寬曲線
1.6平面上的Crofton公式
§2空間曲線的整體性質
2.1Fenchel定理
2.2球面上的Crofton公式
2.3Fary-Milnor定理
2.4閉曲線的全撓率
§3曲面的整體性質
3.1曲面的整體定義
3.2曲面的一般性質
3.3卵形面
§4緊致曲面的高斯-波涅公式和歐拉示性數(shù)
4.1緊致曲面的三角剖分
4.2緊致曲面的歐拉示性數(shù)
4.3緊致定向曲面的虧格(gerus)
4.4緊致曲面的高斯-波涅公式
4.5緊致曲面上的向量場